NCERT MATHS CLASS 7 गणित कक्षा 7
Chapter 1 Interers
अध्याय 1 पूर्णांक
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Chapter 1
1. Integers are a bigger collection of numbers which is
formed by whole numbers and their negatives. These were introduced in Class VI.
2. You have studied in the earlier class, about the
representation of integers on the number line and their addition and
subtraction.
3. We now study the properties satisfied by addition
and subtraction.
(a) Integers are closed for addition and subtraction
both. That is, a + b and a – b are again integers, where a and b are any
integers.
(b) Addition is commutative for integers, i.e., a + b =
b + a for all integers a and b.
(c) Addition is associative for integers, i.e., (a + b)
+ c = a + (b + c) for all integers a, b and c.
(d) Integer 0 is the identity under addition. That is,
a + 0 = 0 + a = a for every integer a.
4. We studied, how integers could be multiplied, and
found that product of a positive and a negative integer is a negative integer,
whereas the product of two negative integers is a positive integer. For
example, – 2 × 7 = – 14 and – 3 × – 8 = 24.
5. Product of even number of negative integers is
positive, whereas the product of odd number of negative integers is negative.
6. Integers show some properties under multiplication.
(a) Integers are closed under multiplication. That is,
a × b is an integer for any two integers a and b. (b) Multiplication is
commutative for integers. That is, a × b = b × a for any integers a and b.
(c) The integer
1 is the identity under multiplication, i.e., 1 × a = a × 1 = a for any integer
a.
(d) Multiplication is associative for integers, i.e.,
(a × b) × c = a × (b × c) for any three integers a, b and c.
7. Under addition and multiplication, integers show a
property called distributive property. That is, a × (b + c) = a × b + a × c for
any three integers a, b and c.
8. The properties of commutativity, associativity under
addition and multiplication, and the distributive property help us to make our
calculations easier.
9. We also learnt how to divide integers. We found
that, (a) When a positive integer is divided by a negative integer, the
quotient obtained is a negative integer and vice-versa. (b) Division of a
negative integer by another negative integer gives a positive integer as
quotient.
10. For any integer a, we have (a) a ÷ 0 is not defined
(b) a ÷ 1 = a
1. पूर्णांक संख्याओं
का एक बड़ा संग्रह है जो पूर्ण संख्याओं और उनके ऋणात्मक से बनता है। इन्हें छठी
कक्षा में पेश किया गया था।
2. आप पिछली कक्षा में
संख्या रेखा पर पूर्णांकों के निरूपण और उनके योग और घटाव के बारे में पढ़ चुके
हैं।
3. अब हम जोड़ और घटाव
से संतुष्ट गुणों का अध्ययन करते हैं।
(ए) पूर्णांक जोड़
और घटाव दोनों के लिए बंद हैं। अर्थात्, a + b और
a – b पुन: पूर्णांक हैं, जहां a और b कोई पूर्णांक हैं।
(बी) योग पूर्णांकों
के लिए क्रमविनिमेय है, अर्थात, सभी पूर्णांकों a और
b के लिए a + b = b + a।
(सी) जोड़ पूर्णांकों
के लिए सहयोगी है, यानी,
(ए + बी) + सी = ए + (बी + सी) सभी पूर्णांक ए, बी और सी के लिए।
(डी) पूर्णांक 0 अतिरिक्त के तहत पहचान है। अर्थात्, प्रत्येक पूर्णांक a के
लिए a + 0 = 0 + a = a।
4. हमने अध्ययन किया
कि पूर्णांकों को कैसे गुणा किया जा सकता है, और पाया कि एक धनात्मक और एक ऋणात्मक पूर्णांक का गुणनफल एक ऋणात्मक
पूर्णांक होता है, जबकि दो ऋणात्मक
पूर्णांकों का गुणनफल एक धनात्मक पूर्णांक होता है। उदाहरण के लिए - 2
× 7 = - 14 और - 3 × - 8 = 24।
5. ऋणात्मक पूर्णांकों
की सम संख्या का गुणनफल धनात्मक होता है, जबकि
ऋणात्मक पूर्णांकों की विषम संख्या का गुणनफल ऋणात्मक होता है।
6. पूर्णांक गुणन के
तहत कुछ गुण दिखाते हैं।
(ए) गुणन के तहत
पूर्णांक बंद हो जाते हैं। अर्थात् a × b किन्हीं
दो पूर्णांकों a और b के लिए एक पूर्णांक है। (b) पूर्णांकों
के लिए गुणन क्रमविनिमेय है। अर्थात्, a × b = b × a किसी भी पूर्णांक a और
b के लिए।
(सी) पूर्णांक 1
गुणन के तहत पहचान है, अर्थात,
1 × a = a × 1 = a किसी भी पूर्णांक a के लिए।
(डी) गुणा
पूर्णांकों के लिए सहयोगी है, यानी,
(ए × बी)
× सी = ए × (बी
× सी) किन्हीं तीन पूर्णांकों ए, बी और सी के लिए।
7. जोड़ और गुणा के
तहत, पूर्णांक एक संपत्ति दिखाते हैं जिसे वितरण
संपत्ति कहा जाता है। अर्थात्, किन्हीं
तीन पूर्णांकों a, b और c के लिए a × (b + c) = a × b + a × c।
8. कम्यूटेटिविटी के
गुण, जोड़ और गुणा के तहत संबद्धता, और वितरण गुण हमें अपनी गणना को आसान बनाने में मदद करते हैं।
9. हमने पूर्णांकों को
विभाजित करना भी सीखा। हमने पाया कि, (ए)
जब एक सकारात्मक पूर्णांक को एक ऋणात्मक पूर्णांक से विभाजित किया जाता है, तो प्राप्त भागफल एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है और इसके विपरीत। (b)
एक ऋणात्मक पूर्णांक को किसी अन्य ऋणात्मक
पूर्णांक से भाग देने पर भागफल के रूप में एक धनात्मक पूर्णांक प्राप्त होता है।
10. किसी पूर्णांक a के लिए, हमारे पास (a)
a 0 परिभाषित नहीं है (b) a 1 = a
Exercise 1.1
1. Following number line shows the
temperature in degree celsius (°C) at different places on a particular day.
(a) Observe this number line and write
the temperature of the places marked on it.
(b) What is the temperature difference between
the hottest and the coldest places among the above?
(c) What is the temperature difference between
Lahulspiti and Srinagar?
(d) Can we say temperature of Srinagar
and Shimla taken together is less than the temperature at Shimla? Is it also
less than the temperature at Srinagar?
2. In a quiz, positive marks are given
for correct answers and negative marks are given for incorrect answers. If
Jack’s scores in five successive rounds were 25, – 5, – 10, 15 and 10, what was
his total at the end?
3. At Srinagar temperature was – 5°C on
Monday and then it dropped by 2°C on Tuesday. What was the temperature of
Srinagar on Tuesday? On Wednesday, it rose by 4°C. What was the temperature on
this day?
4. A plane is flying at the height of
5000 m above the sea level. At a particular point, it is exactly above a
submarine floating 1200 m below the sea level. What is the vertical distance
between them?
5. Mohan deposits Rs 2,000 in his bank
account and withdraws Rs 1,642 from it, the next day. If withdrawal of amount
from the account is represented by a negative integer, then how will you represent
the amount deposited? Find the balance in Mohan’s account after the withdrawal.
6. Rita goes 20 km towards east from a
point A to the point B. From B, she moves 30 km towards west along the same
road. If the distance towards east is represented by a positive integer then,
how will you represent the distance travelled towards west? By which integer
will you represent her final position from A?
7. In a magic square each row, column
and diagonal have the same sum. Check which of the following is a magic square.
8. Verify a – (– b) = a + b for the
following values of a and b.
(i) a = 21, b = 18
(ii) a = 118, b = 125
(iii) a = 75, b = 84
(iv) a = 28, b = 11
9. Use the sign of >, < or = in
the box to make the statements true.
(a) (– 8) + (– 4) (–8) – (– 4)
(b) (– 3) + 7 – (19) 15 – 8 + (– 9)
(c) 23 – 41 + 11 23 – 41 – 11
(d) 39 + (– 24) – (15) 36 + (– 52) – (–
36)
(e) – 231 + 79 + 51 –399 + 159 + 81
10. A water tank has steps inside it. A
monkey is sitting on the topmost step (i.e., the first step). The water level
is at the ninth step.
(i) He jumps 3 steps down and then jumps
back 2 steps up. In how many jumps will he reach the water level?
(ii) After drinking water, he wants to
go back. For this, he jumps 4 steps up and then jumps back 2 steps down in
every move. In how many jumps will he reach back the top step?
(iii) If the number of steps moved down is
represented by negative integers and the number of steps moved up by positive
integers, represent his moves in part (i) and (ii) by completing the following;
(a) – 3 + 2 – ... = – 8
(b) 4 – 2 + ... = 8.
In (a) the sum (– 8) represents going
down by eight steps. So, what will the sum 8 in (b) represent?
1. निम्नलिखित
संख्या
रेखा
किसी
विशेष
दिन
में
विभिन्न
स्थानों
पर
तापमान
को
डिग्री
सेल्सियस
(°C) में
दर्शाती
है।
(ए)
इस
संख्या
रेखा
का
निरीक्षण
करें
और
उस
पर
अंकित
स्थानों
का
तापमान
लिखें।
(बी)
उपरोक्त
में
से
सबसे
गर्म
और
सबसे
ठंडे
स्थानों
के
तापमान
में
क्या
अंतर
है?
(c) लाहुलस्पीति
और
श्रीनगर
के
तापमान
में
कितना
अंतर
है?
(डी)
क्या
हम
कह
सकते
हैं
कि
श्रीनगर
और
शिमला
का
तापमान
शिमला
के
तापमान
से
कम
है?
क्या
यह
श्रीनगर
के
तापमान
से
भी
कम
है?
2. एक
प्रश्नोत्तरी
में,
सही
उत्तरों
के
लिए
सकारात्मक
अंक
दिए
जाते
हैं
और
गलत
उत्तरों
के
लिए
नकारात्मक
अंक
दिए
जाते
हैं।
यदि
जैक
का
लगातार
पांच
राउंड
में
स्कोर
25, - 5, - 10, 15 और
10 था,
तो
अंत
में
उसका
कुल
स्कोर
क्या
था?
3. श्रीनगर
में
सोमवार
को
तापमान
-5 डिग्री
सेल्सियस
था
और
फिर
मंगलवार
को
2 डिग्री
सेल्सियस
गिर
गया।
मंगलवार
को
श्रीनगर
का
तापमान
क्या
था?
बुधवार
को
यह
4 डिग्री
सेल्सियस
बढ़
गया।
इस
दिन
तापमान
क्या
था?
4. एक
विमान
समुद्र
तल
से
5000 मीटर
की
ऊंचाई
पर
उड़
रहा
है।
एक
विशेष
बिंदु
पर,
यह
समुद्र
तल
से
1200 मीटर
नीचे
तैरती
एक
पनडुब्बी
के
ठीक
ऊपर
है।
उनके
बीच
लंबवत
दूरी
क्या
है?
5. मोहन
अपने
बैंक
खाते
में
2,000 रुपये
जमा
करता
है
और
अगले
दिन
उसमें
से
1,642 रुपये
निकाल
लेता
है।
यदि
खाते
से
राशि
की
निकासी
एक
ऋणात्मक
पूर्णांक
द्वारा
निरूपित
की
जाती
है,
तो
आप
जमा
की
गई
राशि
का
प्रतिनिधित्व
कैसे
करेंगे?
निकासी
के
बाद
मोहन
के
खाते
में
शेष
राशि
ज्ञात
कीजिए।
6. रीता
एक
बिंदु
A से
बिंदु
B तक
पूर्व
की
ओर
20 किमी
जाती
है।
B से,
वह
उसी
सड़क
के
साथ
पश्चिम
की
ओर
30 किमी
चलती
है।
यदि
पूर्व
की
ओर
की
दूरी
को
एक
धनात्मक
पूर्णांक
द्वारा
दर्शाया
जाता
है,
तो
आप
पश्चिम
की
ओर
तय
की
गई
दूरी
को
किस
प्रकार
निरूपित
करेंगे?
आप
A से
उसकी
अंतिम
स्थिति
को
किस
पूर्णांक
से
निरूपित
करेंगे?
7. एक
जादुई
वर्ग
में
प्रत्येक
पंक्ति,
स्तंभ
और
विकर्ण
का
योग
समान
होता
है।
जांचें
कि
निम्न
में
से
कौन
सा
जादू
वर्ग
है।
8. a और
b के
निम्नलिखित
मानों
के
लिए
a - (- b) = a + b सत्यापित
करें।
(i) ए
= 21, बी
= 18
(ii) ए
= 118, बी
= 125
(iii) ए
= 75, बी
= 84
(iv) ए
= 28, बी
= 11
9. कथनों
को
सत्य
बनाने
के
लिए
बॉक्स
में
>, < या
= के चिह्न
का
प्रयोग
करें।
(ए)
(- 8) + (- ४)
(-८) - (- ४)
(बी)
(- 3) + 7 - (1 9) 15 - 8 + (- 9)
(सी)
23 - 41 + 11 23 - 41 - 11
(डी)
39 + (- 24) - (15) 36 + (- 52) - (- 36)
(ई)
- २३१ + ७९
+ ५१ -399
+ १५९ + ८१
10. एक
पानी
की
टंकी
के
अंदर
सीढ़ियाँ
होती
हैं।
एक
बंदर
सबसे
ऊपर
की
सीढ़ी
(यानी
पहला
कदम)
पर
बैठा
है।
जलस्तर
नौवें
पायदान
पर
है।
(i) वह
3 कदम
नीचे
कूदता
है
और
फिर
2 कदम
ऊपर
कूदता
है।
वह
कितनी
छलांग
में
जल
स्तर
तक
पहुंचेगा?
(ii) पानी
पीने
के
बाद
वह
वापस
जाना
चाहता
है।
इसके
लिए
वह
4 कदम
ऊपर
कूदता
है
और
फिर
हर
चाल
में
2 कदम
नीचे
कूदता
है।
वह
कितनी
छलांग
लगाकर
शीर्ष
कदम
पर
वापस
पहुंचेगा?
(iii) यदि
नीचे
की
ओर
कदमों
की
संख्या
को
ऋणात्मक
पूर्णांकों
द्वारा
दर्शाया
जाता
है
और
कदमों
की
संख्या
को
धनात्मक
पूर्णांकों
द्वारा
दर्शाया
जाता
है,
तो
निम्नलिखित
को
पूरा
करके
भाग
(i) और
(ii) में
उसकी
चालों
को
निरूपित
करें;
(ए)
- 3 + 2 - ... = - 8
(बी)
4 - 2 + ... = 8।
(ए)
में
योग
(-8) आठ
चरणों
से
नीचे
जाने
का
प्रतिनिधित्व
करता
है।
तो,
(बी)
में
योग
8 क्या
प्रदर्शित
करेगा?
Exercise 1.2
1. Write down a pair of integers whose:
(a) sum is –7
(b) difference is –10
(c) sum is 0
2. (a) Write a
pair of negative integers whose difference gives 8.
(b) Write a negative integer and a positive integer
whose sum is –5.
(c) Write a negative integer and a positive integer
whose difference is –3.
3. In a quiz, team A scored – 40, 10, 0 and team B
scored 10, 0, – 40 in three successive rounds. Which team scored more? Can we
say that we can add integers in any order?
4. Fill in the blanks to make the following statements
true:
(i) (–5) + (............) = (– 8) + (............)
(ii) –53 + ............ = –53
(iii) 17 +
............ = 0
(iv) [13 + (– 12)] + (............) = ............ +
[(–12) + (–7)]
(v) (– 4) + [............ + (–3)] = [............ + 15]
+ ............
EXERCISE 1.3
1. Find each of the following products: (a) 3 × (–1)
(b) (–1) × 225 (c) (–21) × (–30) (d) (–316) × (–1) (e) (–15) × 0 × (–18) (f)
(–12) × (–11) × (10) (g) 9 × (–3) × (– 6) (h) (–18) × (–5) × (– 4) (i) (–1) ×
(–2) × (–3) × 4 (j) (–3) × (–6) × (–2) × (–1)
2. Verify the following: (a) 18 × [7 + (–3)] = [18 × 7]
+ [18 × (–3)] (b) (–21) × [(– 4) + (– 6)] = [(–21) × (– 4)] + [(–21) × (– 6)]
3. (i) For any integer a, what is (–1) × a equal to?
(ii) Determine the integer whose product with (–1) is (a) –22 (b) 37 (c) 0
4. Starting from (–1) × 5, write various products
showing some pattern to show (–1) × (–1) = 1.
5. Find the product, using suitable properties: (a) 26
× (– 48) + (– 48) × (–36) (b) 8 × 53 × (–125) (c) 15 × (–25) × (– 4) × (–10)
(d) (– 41) × 102 (e) 625 × (–35) + (– 625) × 65 (f) 7 × (50 – 2) (g) (–17) ×
(–29) (h) (–57) × (–19) + 57
6. A certain freezing process requires that room
temperature be lowered from 40°C at the rate of 5°C every hour. What will be
the room temperature 10 hours after the process begins?
7. In a class
test containing 10 questions, 5 marks are awarded for every correct answer and
(–2) marks are awarded for every incorrect answer and 0 for questions not
attempted. (i) Mohan gets four correct and six incorrect answers. What is his
score? (ii) Reshma gets five correct answers and five incorrect answers, what
is her score? (iii) Heena gets two correct and five incorrect answers out of
seven questions she attempts. What is her score?
8. A cement
company earns a profit of Rs 8 per bag of white cement sold and a loss of Rs 5
per bag of grey cement sold. (a) The company sells 3,000 bags of white cement
and 5,000 bags of grey cement in a month. What is its profit or loss? 2 2
MATHEMATICS (b) What is the number of white cement bags it must sell to have
neither profit nor loss, if the number of grey bags sold is 6,400 bags.
9. Replace the blank with an integer to make it a true
statement. (a) (–3) × = 27 (b) 5 × = –35 (c) × (– 8) = –56 (d) × (–12) = 132
EXERCISE 1.4
1. Evaluate each of the following:
(a) (–30) ÷ 10
(b) 50 ÷ (–5)
(c) (–36) ÷ (–9)
(d) (– 49) ÷
(49)
(e) 13 ÷ [(–2) + 1]
(f) 0 ÷ (–12)
(g) (–31) ÷ [(–30) + (–1)]
(h) [(–36) ÷ 12] ÷ 3
(i) [(– 6) + 5)] ÷ [(–2) + 1]
2. Verify that a ÷ (b+ c) ≠ (a ÷ b) + (a ÷ c) for each
of the following values of a, b and c.
(a) a = 12, b = – 4, c = 2
(b) a = (–10), b = 1, c = 1
3. Fill in the blanks:
(a) 369 ÷ = 369
(b) (–75) ÷ = –1
(c) (–206) ÷ = 1
(d) – 87 ÷ = 87
(e) ÷ 1 = – 87
(f) ÷ 48 = –1
(g) 20 ÷ = –2
(h) ÷ (4) = –3
4. Write five pairs of integers (a, b) such that a ÷ b
= –3. One such pair is (6, –2) because 6 ÷ (–2) = (–3).
5. The temperature at 12 noon was 10°C above zero. If
it decreases at the rate of 2°C per hour until midnight, at what time would the
temperature be 8°C below zero? What would be the temperature at mid-night?
6. In a class test (+ 3) marks are given for every
correct answer and (–2) marks are given for every incorrect answer and no marks
for not attempting any question.
(i) Radhika scored 20 marks. If she has got 12 correct
answers, how many questions has she attempted incorrectly?
(ii) Mohini scores –5 marks in this test, though she
has got 7 correct answers. How many questions has she attempted incorrectly?
(iii) Rakesh scores 18 marks by attempting 16 questions. How many questions has
he attempted correctly and how many has he attempted incorrectly?
7. An elevator descends into a mine shaft at the rate
of 6 m/min. If the descent starts from 10 m above the ground level, how long
will it take to reach – 350m
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