165H - त्रिकोणमिति

त्रिकोणमिति (Trigonometry)

त्रिकोणमिति (Trigonometry), हाल ही के दिनों में Trigonometry का महत्व SSC की परीक्षा में काफी बढ गया है, सामान्यत: 4 से 5 सवाल त्रिकोणमिति से पूछे जाते हैं जो 50 अंक के पेपर में पूरे Mathematics का लगभग 9-10 प्रतिशत है, और क्योंकि अधिकतर सवाल ट्रिक्स पर आधारित पूछे जाते हैं तो यदि इस भाग को अच्छे से पढ लिया जाये तो अच्छा स्कोर किया जा सकता है, यहाँ प्रस्तुत कर रहा है, कुछ सवाल जो बेहद ट्रिकी हैं और अक्सर ही परीक्षा में पूछे जाते हैं, उम्मीद है आपके लिये उपयोगी सिद्ध होंगेSmart LEARNING WITH B M GAUR CSAT-RAS-SSC-BANK PO-CLERK - 9462900411

सबसे पहले कुछ बातें जो याद रखनी हैं

1.  किसी भी समकोण (Right angle) के लिये सूत्र (formula) -  कर्ण² = लम्ब² + आधार²

2.  अब याद रखिये LAL/KKA, (लाल/ कक्का) L- लम्ब, A- आधार, K- कर्ण

3.  अब इनका क्रम sin θ, cos θ, tan  θ,  तथा cot θ, sec  θ, cosec θ  इनके ठीक उल्टे होते हैं

a.  Sin θ= लम्ब / कर्ण,    cosec θ = कर्ण / लम्ब

b. cos θ= आधार / कर्ण,  sec  θ= कर्ण / आधार

c. tan  θ = लम्ब / आधार , cot θ = आधार/ लम्ब

Angle ð	0°	30°	45°	60°	90°
Trignometric Ratio              ↓	(0°)	( π° ) 6	( π° ) 4	( π° ) 3	( π° ) 2
Sin θ	0	1 2	1 √2	√3 2	1
Cos θ	1	√3 2	1 √2	1 2	0
Tan θ	0	1 √3	1	√3	∞
Cosec θ	∞	2	√2	2 √3	1
Sec  θ	1	2 √3	√2	2	∞
Cot θ	∞	√3	1	1 √3	0

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4. आनुपातिक सम्बंध

1. sin θ. cosec θ = 1 , cosec θ = 1 / Sin θ , Sin θ = 1 / cosec θ 

2. cos θ. sec  θ = 1 ,  sec θ = 1/ cos θ,  cos θ = 1 / sec θ

3. tan θ. cot θ = 1, cot θ= 1 / tan θ , tan θ = 1 / cot θ  

4. tan θ = sin θ / cos θ, sin θ= cosθ.tanθ, 

5. cos θ = sinθ/ tanθ, cot θ = cos θ / sin θ 

Sin(A±B) = sin A cos B ± cos A sin B

Cos (A±B) = cos A cos B ± sin A sin B

tan(A±B)	=	tan A ± tan B
		1 - tan A tan B

sin A + sin B)	= 2 sin	A+ B	cos	A-B
		2		2)

sin A - sin B)	= 2 cos	A+ B	sin	A-B
		2		2)

cos A + cos B)	= 2 cos	A+ B	cos	A-B
		2		2

cos A - cos B)	= 2 sin	A+ B	sin	B-A
		2		2

2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)

2 cos A sin B = sin(A+B) - sin (A-B)

2 cos A cos B = cos (A+B) + cos (A-B)

2 sin A sin B = cos (A-B) - cos (A+B)

sin 2A = 2sinA cosA

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अब देखते हैं त्रिकोणमिति के सामान्य तौर पर पूछे जाने वाले Tricky सवाल

Tricky Questions of Trigonometry 

Q1. sin1.sin2.sin3...............sin180 = 0

Q2. cos1.cos2.cos3 ............cos90 = 0

Q3. tan1.tan2.tan3.............tan89 = 1

Q4. cot1.cot2.cot3..............cot89 = 1

यदि x+y = 90 हो तो 

Q5. sec²x- cot²y = 1

Q6. sin²x + sin²y = 1

Q7. cosec²x- tan²y =1

अब देखते हैं न्युनतम तथा महत्तम मान

Q8. A.Sin.X + B.Cos.Y
              या
Q9. A.Sin.X + B.Sin.Y
              या
Q10. A.Cos.X + B.Cos.Y

का महत्तम (HCF) मान-  =	√	x2 + y2

तथा न्यूनतम (LCM) मान = -	√	x2 + y2

  

Q11. Sin a. sin2a .sin4a =	1	.Sin3a
	4

                               

Q12. Cos a. cos2a. cos4a=	1	Cos3a
	4

Q13 tan a. tan2a. tan4a =	tan3a

                                                                    

Q14. यदि Sin x + cos y = z  है

                              

तो Sin x - Cos y =	√	2 - z2

वो सवाल जो SSC ने वर्ष 2014 में किसी भी परीक्षा में पूछे हैं, इन सवालों को करने तथा समझने से ना केवल आपकी जानकारी बढेगी बल्कि आपका Confidence भी बढेगा,  (trigonometry questions asked in SSC CGL - 2014)

तो चलिये शुरु करते हैं,

प्रश्न संख्या -1

  sin 43  +  cos 19  - 8cos²60 
  cos 47     sin 71

हल :-  sin 43      +     cos 19     - 8cos²60
      cos (90-43)     sin (90-19)

=  sin 43  +  cos 19  - 8(1/2)²
    sin 43       cos 19

= 1+1 - 2

= 0 उत्तरSmart LEARNING WITH B M GAUR

प्रश्न संख्या -2

1+       1       - sec²27 +     1        -  cosec²27

      cot²63                      sin²63

= 1 + tan²63 - sec²(90- 63) + cosec²63 - cosec²(90-63)

= sec²63 - cosec²63 + cosec²63 - sec²63

= 0 उत्तरSmart LEARNING WITH B M GAUR

प्रश्न संख्या- 3

यदि  x =   cosθ    तो 
               1- sinθ

cosθ    का मान क्या होगा ??
1+sinθ 

हल:   x =     cosθ     
                 1- sinθ

  1   =   1- sinθ
  x         cos θ

=    (1- sinθ) (1+ sinθ)
       cos θ  (1+ sinθ)

=     1 - sin²θ    
  cos θ  (1+ sinθ)

=     cos²θ              

    cos θ  (1+ sinθ)

=    cosθ          उत्तर

   (1+ sinθ)CSAT-RAS-SSC-BANK PO-CLERK - 9462900411

प्रश्न संख्या 4-

यदि  tan θ + cot θ = 2 तो θ का मान क्या होगा?

इसे हल करने के लिये हम θ का एक ऐसा मान सोचेंगे जिसका मान tan तथा cot के लिये 1 हो

और ऐसा 45  पर सम्भव है

tan 45 + cot 45 = 1

अत: θ = 1

उत्तरCSAT-RAS-SSC-BANK PO-CLERK - 9462900411

प्रश्न संख्या -5

त्रिभुज ABC में कोण B = 90 और AB:BC = 2:1

तो Sin A + Cot C का मान क्या होगा ?

हल

माना AB = 2x तथा BC = x
               ________________
 AC =   √ (2x)²+ x²
       ___
⁼  √  5  . x
                  
अत: Sin A =      x
                     √ 5  . x       
                    
=     1  
    √ 5
तथा Cot c =    1
                        2

इसलिये

Sin a + Cot c =

=     1       +      1
    √ 5               2

=   2   + √5

     2.     √5

उत्तरCSAT-RAS-SSC-BANK PO-CLERK - 9462900411

प्रश्न संख्या -6  

tan²θ+3 = 3 sec θ तो θ का मान क्या होगा ?

हल:

tan²θ+3= 3secθ

sec²θ - 1 +3 = 3 sec θ

sec²θ - 3secθ +2 = 0

गुणनखण्ड करने पर

sec²θ - 2secθ - sec θ +2 = 0

secθ(secθ-2) -1(secθ-2)=0

(secθ-1)(secθ-2) = 0

अत:
secθ =1 तथा θ= 0
या secθ=2 तथा θ = 60
उत्तरCSAT-RAS-SSC-BANK PO-CLERK - 9462900411

प्रश्न संख्या-7

sin²65+sin²25+cos²35+ cos²55 का मान क्या होगा?

हल:
sin²65+sin²(90-65)+cos²(90-55)+ cos²55)

= sin²65+cos²65+sin²55+ cos²55

= 1+1
= 2
उत्तर

प्रश्न संख्या-8

1-2sin²Q+sin⁴Q का मान ज्ञात कीजिये ?

हल:

1-2sin²Q+sin⁴Q

= 1 - 2sin²Q+sin²Q.sin²Q

= 1- sin²Q - sin²Q+sin²Q.sin²Q

= cos²Q -sin²Q + (1- cos²Q.1- cos²Q)

= cos²Q - (1-cos²Q) + (1- cos²Q.1- cos²Q)

= cos²Q - 1 + cos²Q + (1- 2cos²Q + cos⁴Q)

= cos²Q - 1 + cos²Q + 1- 2cos²Q + cos⁴Q

= 2cos²Q - 1 + 1- 2cos²Q + cos⁴Q

= cos⁴Q   उत्तर


प्रश्न संख्या-9

त्रिभुज ABC में  Sin (A+B)/2 का मान किसके बराबर है?

हल:

किसी त्रिभुज ABC में -

A+B+C = 180

A+B+C = 90
    2

A/2 + B/2 + C/2 = 90

A/2 + B /2 = 90 - C/2

A+B   = 90- C/2
  2

Sin (A+B)   =  Sin 90- C/2
          2

= Cos C/2    उत्तर

प्रश्न संख्या-10

tan Q+Cot Q = \/3

तो tan³ Q + cot³ Q का मान क्या होगा ?

हल:  
दोनों ओर घन करने पर
(tan Q + cot Q)³ = (\/3)³ 

tan³ Q + cot³ Q+ 3 tanQ.cotQ(tan Q+Cot Q) = 3 .\/3 

tan³ Q + cot³ Q+ 3.(\/3) = 3 .\/3

tan³ Q + cot³ Q = 3 .\/3 - 3 .\/3

tan³ Q + cot³ Q= 0 उत्तरCSAT-RAS-SSC-BANK PO-CLERK - 9462900411

प्रश्न संख्या-11

Cot 40  -   1 { cos 35}
tan 50       2 {sec 55}

हल: 

   Cot 40       -   1 { cos 35}
tan (90-40)       2 {sec (90-35)}

Cot 40  -   1 { cos 35}
Cot 40       2 {cos 35}

1  -   1
        2 

= ½ उत्तर CSAT-RAS-SSC-BANK PO-CLERK - 9462900411

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