चक्रवृध्दि ब्याज (भाग-1) के बेहद महत्वपूर्ण
प्रश्न
मूलधन = 100 ×
|
(
|
100
――
r
|
)
|
n
|
मिश्रधन = मूलधन ×
|
(
|
100
――
r
|
)
|
n
|
यहां r=ब्याज दर, n= अवधी
1. यदि एक राशि चक्रवृध्दि ब्याज की दर से चार वर्षो में दुगनी हो जाती जाती है तो उसी दर से कब 4 गुना हो जायेगी ?
2²=4 गुनी
(2×4) = 8 वर्षों में
हलः
1. राशि 4 वर्षों में दुगनी होती है
अतः अगले 4 वर्षों में फिर से दुगनी हो
जायेगी
अतः यह राशि 8 वर्षों 4 गुना हो जायेगी
2. इस प्रश्न में 16 गुना कब हो जायेगी
24 = 16 गुना
4×4 = 16 वर्षों में
2.
किस
चक्रवृध्दि ब्याज की दर से एक राशि 2 वर्षो में 9 गुना हो जायेगी
1. सूत्र से = r=100[(m)1/t
– 1] यहां r=ब्याज दर, m=गुना, t= time(समय)
r=100[(9)1/2-1], 100ࡪ×(3-1), 200
=200%
2. हलः r=100[(m)1/t
– 1]
1. माना कि राशि x थी
तब तक्रवर्ती ब्याज के सूत्र
से 9x= x(1+ r/100)²
9x= x(1+ r/100 ×1+ r/100)
9=(1+ r/100 ×1+ r/100)
9=1+r/100
+ r/100+(r/100)²
9=1+r/100
+ r/100+(r/100)²
r/100=a
9=1+a+a+a²
1+a+a+a²-9=0
1+2a+a²-9=0
a²+2a-8=0
(a-2)(a+4)=0, (2-2)×(2+4)=0, = 0×6, = 0
a=2
a= r/100, 2=r/100, r=100×2 = 200%
3. Short Cut:
9x= x(1+ r/100 ×1+ r/100)
9=(1+ r/100 ×1+ r/100)
r/100=a
9=1+a×1+a, 1+a×1+a=9, a²+2a=8, 2×2 + 2×2 = 8, a=2
2=r/100, r=200%
3. किस चक्रवृध्दि ब्याज की दर से एक राशि 3 वर्षो में 8 गुनी हो जायेगी
1. सूत्र से = r=100[(m)1/t
– 1] , यहां r=ब्याज दर, m=गुना, t= time(समय)
r=100[(8)1/3-1], 100ࡪ×(2-1), 100
=100%
4. यदि किसी राशि का चक्रवृध्दि व्याज 3% की दर से 2 वर्षो में 101.50 रु. हो तो साधारण ब्याज ज्ञात करें
हलः यह सूत्र केवल दो वर्षों के लिये है
साधारण ब्याज =
|
200× चक्रवृध्दि व्याज
|
200 + r
|
2 वर्षों से ज्यादा का अंतर
दिया हो तब सूत्र
साधारण ब्याज =
|
r x चक्रवृध्दि व्याज
|
100[(1+ r/100)-1]
|
| हलः साधारण ब्याज = 200×101.50/200+300 = 100 रू |
यह हल केवल दो वर्षों के लिये है
5. किसी राशि का 2 वर्षो का चक्रवृध्दि ब्याज 40.80 रु. है और साधारण ब्याज 40 रु. है ब्याज की बार्षिक दर एवं मूलधन बतायें
2 वर्षों से ज्यादा का अंतर
दिया हो तब
यह हल केवल दो वर्षों के लिये है
|
= 2×40.80-40 / 40, = 2×0.80/40, =1.60/40×100, = 4 प्रतिशत
व्याख्याः
एक वर्ष का साधारण ब्याज =40/2 = 20
एक वर्ष का चक्रवृध्दि व्याज = 40.80-40 = 0.80
20
रूपये व्याज = 0.80 तो 100 पर 80/20=4, अतः दर = 4
प्रतिशत
4
प्रतिशत से एक वर्ष का साधारण ब्याज = 20
रू अतः
मुलधन = 100/20*100, =500 रू
6. 3903 रु. को A एवं B बीच इस प्रकार विभाजित करें कि 7 वर्षो के बाद A का हिस्सा 9 वर्षो के बाद B के हिस्से के बराबर
हो चक्रवृध्दि व्याज की दर 4% है
A का वर्तमान हिस्सा [1+4/100]7 =
B का वर्तमान हिस्सा [1+4/100]9
A का वर्तमान हिस्सा ÷ B का वर्तमान हिस्सा = [1+4/100]² , = (104/100)² = (26/25)² =676/625
इसलिए A का वर्तमान हिस्सा =
3903÷(676+625)×676=2028 रू
B का वर्तमान हिस्सा =
3903÷(676+625)×625=1875 रू
7. 5% की वार्षिक व्याज की दर से किसी रकम के 2 वर्षो के चक्रवृध्दि
ब्याज एवं साधारण व्याज का अंतर 1.50 रु. है तो मूलधन निकालें
मूलधन = 100 ×
|
(
|
100
|
)
|
n
|
r
|
हलः मूलधन = 100 ×(100/5)²
मूलधन = 1.5×100×100 /
25 = 600 रू
व्याख्याः
पहले वर्ष के ब्याज पर 5% की वार्षिक व्याज की
दर से ब्याज = 1.5 रू
अतः पहले वर्ष का व्याज = 1.5*100/5 = 30 रू
अतः मूलधन = 30*100/5 = 600
रू
8. यदि 5% की दर से किसी धन का 3 वर्षो का साधारण व्याज 150 रु. हो तो इसी अबधि के लिए इसी दर से चक्रवृध्दि ब्याज क्या होगा
मूलधन = 150/3*100/5 = 1000 रु
मिश्रधनः सूत्र से 1000(1+ 5/100)³
1000(21/20)³
1000(9261/8000)
मिश्रधन
= 9261/8 = 1157.62
चक्रवृध्दि ब्याज = 1157.62*1000 = 157.62
चक्रवृध्दि ब्याज (भाग-2)
1- चक्रवृध्दि ब्याज की दर से कोई रकम 2 वर्षो में 4840 रु. तथा 3 वर्षो में 5324 रु. हो जाती है तो प्रतिशत व्याज की गणना करें
1- चक्रवृध्दि ब्याज की दर से कोई रकम 2 वर्षो में 4840 रु. तथा 3 वर्षो में 5324 रु. हो जाती है तो प्रतिशत व्याज की गणना करें
जब वर्षों में एक वर्ष का
अंतर हो
दर =
|
दोनों वर्षों की राशि का अंतर
|
× 100
|
पहले वाली राशि
|
हलः
दर =
|
5324*4840
|
× 100
|
4840
|
दर = 484*100/4840 = 10 प्रतिशत
2- किसी खास चक्रवृध्दि ब्याज की दर से 4800 रु. 4 वर्षो में 6000 रु. हो जाती है तो 12 वर्ष बाद राशि क्या होगी
सूत्रः धनराशि =
|
(B)t2/t1
|
|
(A)t2/t1-1
|
हलः
धनराशि =
|
(6000)12/4
|
=9375 रू
|
(4800)12/4-1
|
Short
Cut:
तीन वर्ष में 4800 रू बनते है
6000 अर्थात 1.25 गुना या 5/4 गुना
12 वर्ष में 4800 रू बनेंगे
4800*(5/4)3 , 4800*125/64 = 9375 रू
3- किसी राशि को चक्रवृध्दि ब्याज तथा साधारण ब्याज की किसी दर से लगाया जाता है ऐसा पाया जाता है कि 3 वर्षो के चक्रवृध्दि ब्याज साधारण ब्याज का अंतर 2 वर्षो के चक्रवृध्दि ब्याज तथा साधारण ब्याज का अंतर 3.15 गुना है प्रतिशत दर ज्ञात करें
सूत्रः D3 = D2
|
(
|
300+r
|
)
|
100
|
D3
= तीन वर्षों का साधारण तथा चक्रवृध्दि
ब्याज का अंतर
D2 = दो वर्षों का साधारण तथा चक्रवृध्दि
ब्याज का अंतर
हलः सूत्र से
|
r=15%
Short Cut:
Short Cut:
तीन वर्ष व दो वर्ष के ब्याज का अंतर 3.15 गुना है, अर्थात 1 वर्ष का ब्याज 15 प्रतिशत है
4- 1000 रु. पर 5 प्रतिशत वार्षिक ब्याज की दर से 3 साल की साधारण ब्याज एवं चक्रवृध्दि ब्याज का अंतर बताइये
अन्तर =
|
p×r²(300+r)
|
|
100³
|
हल-
अन्तर
=
|
1000×52(300+5)
|
=78
|
100³
|
5- यदि 400 रु. की राशि का
मिश्रधन 2 वर्षो में 441 रु. हो जाता है तो चक्रवृध्दि ब्याज की दर कितनी है
चक्रवृध्दि ब्याज की दर =
|
{
|
(
|
मिश्रधन
|
)
|
1/समय
|
-1
|
}
|
×100
|
मूलधन
|
हल-
चक्रवृध्दि ब्याज की दर =
|
{
|
(
|
441
|
)
|
1/2
|
-1
|
}
|
×100
|
400
|
= 5%
Short Cut
21/20-1×100, 1/20×100=5
6- यदि कोई धन 5 वर्षो में 625 रु. तथा 7 वर्षो में 784 रु. हो जाये तो चक्रवृध्दि ब्याज की वार्षिक दर क्या होगी
चक्रवृध्दि ब्याज की दर =
|
{
|
(
|
मिश्रधन
|
)
|
1/t2t1
|
-1
|
}
|
×100
|
मूलधन
|
हल-
चक्रवृध्दि ब्याज की दर =
|
{
|
(
|
784
|
)
|
1/7-5
|
-1
|
}
|
×100
|
625
|
=12%
Short Cut
28/25-1×100, 3/25×100 = 12%
7- राम ने एक पंखा खरीदा जिसे 2 बराबर वार्षिक किस्तों में चुकता करना है यदि वार्षिक ब्याज की दर 4% हो तथा प्रत्येक किश्त 1352 रु. हो तो उस पंखे का मूल्य क्या होगा
x
|
=
|
a
|
+
|
a
|
(1+r/100)
|
(1+r/100)2
|
हलः
पंखे का मूलधन
|
=
|
1352
|
+
|
1352
|
(1+4/100))
|
(1+4/100)2
|
पंखे का मूलधन
|
=
|
1352
|
+
|
1352
|
=2550 रू
|
26/25
|
(26/25)2
|
8- यदि कोई धनराशि चक्रवृध्दि ब्याज की दर से 5 वर्षो में 1500 और 10 वर्षो में 2000 रु. हो जाये तो मूलधन कितना होगा
मूलधन =
|
(x)²
|
|
y
|
हलः
मूलधन =
|
1500×1500
|
=1125
|
2000
|
दूसरे पांच वर्ष में
बढा 2000-1500 पर 500 अर्थात 1/3 + 1/4
पहले पांच वर्ष में
बढा 1500 का ¼ अर्थात 375, मूलधन था 1500-375 =
1125
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