MENSURATION: IMPORTANT
FORMULAE
वृत - Circle: Smart LEARNING WITH B M GAUR
1. Diameter, D = 2r (r - Radius)
2. Area = πr² sq. units
3. Circumference = 2πr units
चतुर्भुज - Square: 4. Area = a² sq. units (a – side of
the square)
5. Perimeter = 4a units
6. Diagonal, d = √2 a units
आयत
- Rectangle: Smart LEARNING WITH B M GAUR
7. Area = lxb sq. units (l – length and b –
breadth, of the rectangle)
8. Perimeter = 2(l+b) units
9. Diagonal, d = √𝑙²+𝑏² units
Scalene Triangle: Smart
LEARNING WITH B M GAUR
10. Area = √(𝑠−𝑎) (𝑠−𝑏) (𝑠−𝑐) sq. units (a, b and c are the three sides of the triangle and s –
semi perimeter = (a+b+c)/2)
11. Perimeter = (a+b+c) units
समदिव्बाहु
त्रिभुज - Isosceles Triangle: Smart
LEARNING WITH B M GAUR
12. Area = 𝑏/4√4𝑎²−𝑏² sq units (b - base and a - equal side length)
13. Perimeter = 2a + b units
समबाहु
त्रिभुज - Equilateral Triangle: Smart
LEARNING WITH B M GAUR
14.Area = √3/4(𝑎²) sq. units (a – side of the
triangle)
15.Perimeter = 3a units
समकौण
त्रिभुज -Right-angled triangle: CSAT-RAS-SSC-BANK PO-CLERK - 9462900411
16.Area = (½)bxh sq. units (b – base and h –
height of the triangle)
17.Perimeter = b + h + hypotenuse
18.Hypotenuse = √𝑏²+ℎ² units
घनाभ
- Cuboid: हघघCSAT-RAS-SSC-BANK PO-CLERK - 9462900411
19. Volume = (Cross section area height) = l×b×h cubic units
20. Lateral Surface Area (LSA) = 2[(l+b)h] sq.
units
21. Total surface area (TSA) = 2(lb+bh+hl) sq.
units
22. Length of the diagonals =√l²+ b²+ h² units
घन
- Cube: CSAT-RAS-SSC-BANK PO-CLERK - 9462900411
23. Volume = a³ cubic units (a – side of the
cube)
24. LSA = 4 a² sq. units
25. TSA = 6a² sq. units
26. Length of diagonal = a√3 units
गौला
- Sphere: CSAT-RAS-SSC-BANK PO-CLERK - 9462900411
27. Volume = (4/3) πr3 cubic units (r – radius of the
sphere)
28. Surface Area = 4πr2 sq. units
29. If R and r are the external and internal
radii of a spherical shell, then its Volume = 4/3[R³-r³] cubic units
अर्ध
गौला - Hemisphere: CSAT-RAS-SSC-BANK PO-CLERK - 9462900411
30. Volume = (2/3)πr3 cubic units (r – radius of the hemisphere)
31. TSA = 3πr2 sq. units
बेलन
- Cylinder: CSAT-RAS-SSC-BANK PO-CLERK - 9462900411
32. Volume = πr²h cubic units
(r – radius of the cylinder)
33. Curved surface Area or CSA (excludes the
areas of the top and bottom circular regions)
= 2πrh sq. units (h
– height of the cylinder)
34. TSA = Curved Surface Area + Areas of the
top and bottom circular regions = 2πrh +
2πr²=2πr(r+h) sq. units
शंकु
- Cone: CSAT-RAS-SSC-BANK PO-CLERK - 9462900411
35. Volume = (1/3) πr²h cubic Units) (r – radius of the cone)
36. Slant Height of cone, l = √r² +h² units
37. CSA = πrl sq. units
38. TSA = πr(r+l) sq.
units
त्रिभुज
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CAREER COACHING - SMART
LEARNING WITH B M GAUR - SSC-BANK PO-CLERK - 9462900411
1. दो आकृतियाँ जिनके आकार समान हों, परंतु आवश्यक रूप से आमाप समान न हों, समरूप आकृतियाँ कहलाती हैं।
2. सभी सर्वांगसम आकृतियाँ समरूप होती
हैं परंतु इसका विलोम सत्य नहीं है।
3. भुजाओं
की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं, यदि
(i) उनके संगत कोण बराबर हों तथा (ii) उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में (समानुपाती) हों।
4. यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा के
समांतर अन्य दो भुजाओं को भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए, एक रेखा खींची जाए, तो ये अन्य दो भुजाएँ एक ही अनुपात में
विभाजित हो जाती हैं।
5. यदि एक रेखा किसी त्रिभुज की दो
भुजाओं को एक ही अनुपात में विभाजित करे, तो
यह रेखा तीसरी भुजा के समांतर होती है।
6. यदि दो त्रिभुजों में, संगत कोण बराबर हों, तो उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में
होती हैं और इसीलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं (AAA समरूपता कसौटी) ।
7. यदि दो त्रिभुजों में, एक त्रिभुज के दो कोण क्रमशः दूसरे
त्रिभुज के दो कोणों के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं (AA समरूपता कसौटी)।
8. यदि दो त्रिभुजों में, संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में हों, तो उनके संगत कोण बराबर होते हैं और
इसीलिए दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं (SSS समरूपता कसौटी)।
9. यदि एक त्रिभुज का एक कोण दूसरे
त्रिभुज के एक कोण के बराबर हो तथा इन कोणों को अंतर्गत करने वाली भुजाएँ एक ही
अनुपात में हों, तो दोनों त्रिभुज समरूप होते हैं (SAS समरूपता कसौटी)।
10. दो समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों
का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है।
11. यदि एक समकोण त्रिभुज के समकोण वाले
शीर्ष से उसके कर्ण पर लंब डाला जाए तो लंब के दोनों ओर बनने वाले त्रिभुज संपूर्ण
त्रिभुज के समरूप होते हैं तथा परस्पर भी समरूप होते हैं।
12. एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों
के योग के बराबर होता है (पाइथागोरस प्रमेय)।
13. यदि एक त्रिभुज में, किसी एक भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं
के वर्गों के योग के बराबर हो, तो पहली भुजा का सम्मुख कोण समकोण होता
है।
क्षेत्रमितिNextGen
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(1) (i) समलंब का क्षेत्रफल = समांतर भुजाओं की लंबाइयों
के योग का आधा × उनके बीच की लंबवत दूरी
(ii) समचतुर्भज का क्षेत्रफल
विकर्णों के गुणों का आधा
(2) एक
ठोस का पृष्ठीय क्षेत्रफल इसके फलकों के क्षेत्रफलों के योग के समान होता है
(3) घनाभ
का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb
+ bh + hl)
घन का
पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6l²
बेलन का
पृष्ठीय क्षेत्रफल= 2πr(r + h)
(4) किसी
ठोस द्वारा घिरी हुई जगह की मात्रा सका आयतन कहलाती है
(5) घनाभ
का आयतन = l × b × h
घन का
आयतन = l 3
बेलन का
आयतन = 2πr²h
वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफलNextGen CAREER COACHING - SMART LEARNING WITH B M GAUR - SSC-BANK
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1.
त्रिज्या r
वाले वृत्त की परिध् = 2 π r
2.
त्रिज्या r
वाले वृत्त का क्षेत्रफल = π r²
3.
त्रिज्या r
वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड, जिसका कोण अंशों में θ है, के संगत चाप की लंबाई θ / 360 * 2π r होती है।
4.
त्रिज्या r
वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड, जिसका कोण अंशों मंे θ है, का क्षेत्रफल θ / 360 π r² होता है।
5. एक
वृत्तखंड का क्षेत्रफल = संगत त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल - संगत त्रिभुज का
क्षेत्रफल
पृष्ठीय
क्षेत्रफल और आयतनNextGen
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1.
आधारभूत ठोसों घनाभ,
बेलन, शंकु और गोले और अर्धगोले में से किन्हीं दो ठोसों के संयोजन (को
मिलाने से) से बने ठोसों के पृष्ठीय क्षेत्रफल निर्धरित करना।
2.
ठोसों घनाभ, बेलन, शंकु, गोले और अर्धगोले में से किन्हीं दो
ठोसों के संयोजन से बने ठोसों के आयतन ज्ञात करना।
3.
जब किसी शंकु को उसके आधार के समांतर किसी तल द्वारा काटकर एक छोटा शंकु
हटा देते
हैं, तो जो ठोस बचता है, वह शंकु का एक छिन्नक कहलाता है।
4.
शंकु के छिन्नक से संबद्ध सूत्र निम्नलिखित हैं:
(i) शंकु के छिन्नक का आयतन = πh/3(R²+r²+Rr)
(ii) शंकु के छिन्नक का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= π(R + r)l जहां l=√h² + (r1 + r2)²
(iii)
शंकु के छिन्नक का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल = π[R²+ r² +( R + r) l ] उपरोक्त
सूत्रों में, h = छिन्नक की
(उर्ध्वाधर) ऊँचाई, l = छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई तथा
R और r छिन्नक के दोनों वृत्तीय सिरों की
त्रिज्याएँ हैं।
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