155H - प्रायिकता

प्रायिकता

घटना E की सैधांतिक (या परंपरागत) प्रायिकता P(E) निम्नलिखित रूप में परिभाषित

किया जाता हैः

P(E) =    E के अनुकूल
            प्रयोग के सभी परिणाम

जहाँ हम कल्पना करते हैं कि प्रयोग के सभी परिणाम समप्रायिक हैं।

एक निश्चित (या निर्धरित) घटना की प्रायिकता 1 होती है।

एक असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है।

घटना E की प्रायिकता एक ऐसी संख्या P(E) है कि 0 ≤P(E) ≤1

वह घटना जिसका केवल एक ही परिणाम हो एक प्रारंभिक घटना कहलाती है। 

किसी प्रयोग की सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकता का योग 1 होता है।

किसी भी घटना E के लिए P(E)+P( )=1 होता है, जहाँ घटना ‘ E नहीं’ को व्यक्त करताहै। E और पूरक घटनाएँ कहलाती हैं।

उदाहरण ;

ऐक थेले में 4 काली, 3 लाल व 5 हरी गेंद है । थेले में से यादृछिक रुप से कोई भी 2 गेंद निकाल ली जाती है, तो दोनों गेंदें एक ही रंग की होने की क्या प्रायिकता है ।

हलः

थेले में कुल गेंदें = 4+3+5=12

12 गेंदों में से 2 गेंद एक साथ निकालने के कुल तरीके

 n(S) = ¹²C_{2 =} = 66 ( 12*11 / 2*1 = 132/2 = 66)

12 गेंदों में से एक समान 2 गेंद निकालने के तरीकों की संख्या

n(E) = ⁴C₂  + ³C₂  + ⁵C₂  = 6+3+10=19

या  4*3/2 + 3*2/2 + 5*4/2 = 6+3+10=19

तो दोनों गेंदें एक ही रंग की निकालने की प्रायिकता

P(E) = n(E) / n(S)  = 19/66

उदहारण:  

एक डिब्बे में 100 कमीजें हैं, जिसमें से 88 अच्छी हैं तथा 8 में थोड़ी सी खराबी है और 4 में अध्कि खराबी है। एक व्यापारी जिम्मी वे ही कमीजें स्वीकार करता है जो अच्छी हैं, जबकि एक अन्य व्यापारी सुजाता उन्हीं कमीजों को अस्वीकार करती है जिनमें खराबी अध्कि है। इस डिब्बे में से एक कमीज को यादृच्छया रूप से निकाला जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि वह कमीज

(i) जिम्मी को स्वीकार हो?

(ii) सुजाता को स्वीकार हो?

हल:

रू 100 कमीजों के डिब्बे में से एक कमीज यादृच्छया रूप से निकाली जाती है। अतः यहाँ 100 समप्रायिक परिणाम हैं।

(ii) जिम्मी के अनुवूफल (को स्वीकार) परिणामों की संख्या त = 88 (क्यों?)

अतः, P (कमीज जिम्मी को स्वीकार है) = 88 /100 =  0.88

(ii) सुजाता के अनुवूफल परिणामों की संख्या = 88 + 8 त = 96 (क्यों)

अतः, P ;कमीज सुजाता को स्वीकार है) = 96 /100 =  0.96

उदाहरण: 
सविता और हमीदा दो मित्र हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि दोनों (i) के जन्म-दिन भिन्न-भिन्न हों? (ii) का जन्मदिन एक ही हो? (लीप का वर्ष Leap year) को छोड़ते हुए)

हल:  

दोनों मित्रों में से किसी एक लड़की, मान लीजिए, सविता का जन्मदिन वर्ष का कोई भी दिन हो सकता है। इसी प्रकार, दूसरी लड़की हमीदा का जन्मदिन भी वर्ष वेफ 365 दिनों में से कोई एक दिन हो सकता है।

(i) यदि हमीदा का जन्मदिन सविता के जन्मदिन से भिन्न है, तो उसवेफ जन्मदिन के अनुकूल परिणामों की संख्या 365 - 1 = 364 होगी।

अतः P (हमीदा का जन्मदिन सविता के जन्मदिन से भिन्न है = 364/365

(ii) P(सविता और हमीदा का जन्मदिन एक ही हो) = 1-P (both have different birthdays)

= 1-364/365    using P(Ē) = 1-P(E)

= 1/365

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