NCERT MATHS CLASS 8 गणित कक्षा 8
Chapter 2 Linear Equations in One Variable
अध्याय 2 एक चर वाले रैखिक समीकरण
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सभी प्रश्नों के समाधान का लिंक नीचे दिया गया है
Chapter
2
Linear Equations in One
Variable एक चर वाले रैखिक समीकरण
|
1. An algebraic
equation is an equality involving variables. It says that the value of the
expression on one side of the equality sign is equal to the value of the
expression on the other side. 2. The equations
we study in Classes VI, VII and VIII are linear equations in one variable. In
such equations, the expressions which form the equation contain only one
variable. Further, the equations are linear, i.e., the highest power of the
variable appearing in the equation is 1. 3. A linear
equation may have for its solution any rational number. 4. An equation
may have linear expressions on both sides. Equations that we studied in
Classes VI and VII had just a number on one side of the equation. 5. Just as
numbers, variables can, also, be transposed from one side of the equation to
the other. 6. Occasionally,
the expressions forming equations have to be simplified before we can solve
them by usual methods. Some equations may not even be linear to begin with,
but they can be brought to a linear form by multiplying both sides of the
equation by a suitable expression. 7. The utility of
linear equations is in their diverse applications; different problems on numbers,
ages, perimeters, combination of currency notes, and so on can be solved
using linear equations. |
1. एक
बीजीय समीकरण एक समानता है जिसमें चर शामिल होते हैं। इसमें कहा गया है कि समता
चिन्ह के एक ओर के व्यंजक का मान दूसरी ओर के व्यंजक के मान के बराबर होता है। 2. कक्षा VI, VII और VIII में हम
जिन समीकरणों का अध्ययन करते हैं, वे एक
चर वाले रैखिक समीकरण हैं। ऐसे समीकरणों में, समीकरण
बनाने वाले व्यंजकों में केवल एक चर होता है। इसके अलावा, समीकरण रैखिक होते हैं, यानी समीकरण में दिखाई देने वाले चर की
उच्चतम शक्ति 1 है। 3. एक
रैखिक समीकरण के हल के लिए कोई भी परिमेय संख्या हो सकती है। 4. एक
समीकरण के दोनों ओर रैखिक व्यंजक हो सकते हैं। जिन समीकरणों का हमने कक्षा VI और VII में
अध्ययन किया था, उनमें समीकरण के एक तरफ केवल
एक संख्या थी। 5. जिस
प्रकार संख्याओं, चरों को
भी समीकरण के एक पक्ष से दूसरी ओर स्थानांतरित किया जा सकता है। 6. कभी-कभी, समीकरण बनाने वाले व्यंजकों को सामान्य
तरीकों से हल करने से पहले उन्हें सरल बनाना पड़ता है। कुछ समीकरण शुरू में
रैखिक भी नहीं हो सकते हैं, लेकिन
समीकरण के दोनों पक्षों को उपयुक्त व्यंजक से गुणा करके उन्हें एक रैखिक रूप में
लाया जा सकता है। 7. रैखिक
समीकरणों की उपयोगिता उनके विविध अनुप्रयोगों में है; संख्याओं, उम्र, परिधि, मुद्रा
नोटों के संयोजन आदि पर विभिन्न समस्याओं को रैखिक समीकरणों का उपयोग करके हल
किया जा सकता है। |
EXERCISE 2.1
Solving Equations which have
Linear Expressions on one Side and Numbers on the other Side
ऐसे समीकरणों को हल करना जिनके एक तरफ
रैखिक व्यंजक हैं और दूसरी तरफ संख्याएँ हैं
|
Solve the following equations. 1. x – 2 = 7 2. y + 3 = 10 3. 6 = z + 2 4. 3/7 + x = 17/7 5. 6x = 12 6. t/5 = 10 7. 2x/3 = 18 8. 1.6 = y/1.5 9. 7x – 9 = 16 10. 14y – 8 = 13 11. 17 + 6p = 9 12. x/3 + 1 = 7/15
|
निम्नलिखित समीकरणों को हल करें। 1. x – 2 = 7 2. y + 3 = 10 3. 6 = z + 2 4. 3/7 + x = 17/7 5. 6x = 12 6. t/5 = 10 7. 2x/3 = 18 8. 1.6 = y/1.5 9. 7x – 9 = 16 10. 14y – 8 = 13 11. 17 + 6p = 9 12. x/3 + 1 = 7/15 |
EXERCISE 2.2
Some Applications of Linear Equations in One
Variable
एक चर में रैखिक समीकरणों के कुछ
अनुप्रयोग
|
1. If you
subtract ½ from a number and multiply
the result by 1/2, you get 1/8. What is the number? 2. The perimeter
of a rectangular swimming pool is 154 m. Its length is 2 m more than twice
its breadth. What are the length and the breadth of the pool? 3. The base of an
isosceles triangle is 4/3 cm. The perimeter of the triangle is 42/15
cm. What is the length of either of the remaining equal sides? 4. Sum of two
numbers is 95. If one exceeds the other by 15, find the numbers. 5. Two numbers
are in the ratio 5:3. If they differ by 18, what are the numbers? 6. Three
consecutive integers add up to 51. What are these integers? 7. The sum of
three consecutive multiples of 8 is 888. Find the multiples. 8. Three
consecutive integers are such that when they are taken in increasing order
and multiplied by 2, 3 and 4 respectively, they add up to 74. Find these
numbers. 9. The ages of
Rahul and Haroon are in the ratio 5:7. Four years later the sum of their ages will be 56
years. What are their present ages? 10. The number of
boys and girls in a class are in the ratio 7:5. The number of boys is 8 more
than the number of girls. What is the total class strength? 11. Baichung’s
father is 26 years younger than Baichung’s grandfather and 29 years older than
Baichung. The sum of the ages of all the three is 135 years. What is the age of each one
of them? 12. Fifteen years
from now Ravi’s age will be four times his present age. What is Ravi’s present
age? 13. A rational
number is such that when you multiply it by 5/2 and add 2/3 to the product, you get -7/12. What is the
number? 14. Lakshmi is a
cashier in a bank. She has currency notes of denominations ₹ 100, ₹ 50 and ₹
10, respectively. The ratio of the number of these notes is 2:3:5. The total
cash with Lakshmi is ₹ 4,00,000. How many notes of each denomination does she
have? 15. I have a
total of ₹ 300 in coins of denomination ₹ 1, ₹ 2 and ₹ 5. The number of ₹ 2
coins is 3 times the number of ₹ 5 coins. The total number of coins is 160.
How many coins of each denomination are with me? 16. The
organisers of an essay competition decide that a winner in the competition
gets a prize of ₹ 100 and a participant who does not win gets a prize of ₹
25. The total prize money distributed is ₹ 3,000. Find the number of winners,
if the total number of participants is 63. |
1. यदि आप
किसी संख्या से ½ घटाते हैं और परिणाम को 1/2 से
गुणा करते हैं, तो आपको 1/8 मिलता
है। संख्या क्या है? 2. एक
आयताकार स्विमिंग पूल का परिमाप 154 मीटर
है। इसकी लंबाई इसकी चौड़ाई के दोगुना
से, 2 मीटर
अधिक है । पूल
की लंबाई और चौड़ाई क्या है? 3. एक
समद्विबाहु त्रिभुज का आधार 4/3 सेमी
है। त्रिभुज का परिमाप 42/15 सेमी
है। शेष समान भुजाओं में से किसी एक की लंबाई क्या है? 4. दो
संख्याओं का योग 95 है। यदि एक संख्या दूसरी से 15 अधिक
है, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए। 5. दो
संख्याएँ 5:3 के अनुपात में हैं। यदि वे 18 से
भिन्न हैं, तो संख्याएँ क्या हैं? 6. तीन
क्रमागत पूर्णांकों का योग 51 होता
है। ये पूर्णांक क्या हैं? 7. 8 के
तीन क्रमागत गुणजों का योग 888 है।
गुणज ज्ञात कीजिए। 8. तीन
क्रमागत पूर्णांक ऐसे हैं कि जब उन्हें बढ़ते क्रम में लिया जाता है और क्रमशः 2,
3 और 4 से गुणा किया जाता है,
तो वे 74 तक जुड़ जाते हैं। इन
संख्याओं को खोजें। 9. राहुल
और हारून की आयु का अनुपात 5:7 है।
चार साल बाद उनका योग उम्र 56 साल
होगी। उनकी वर्तमान आयु क्या है? 10. एक
कक्षा में लड़कों और लड़कियों की संख्या का अनुपात 7:5 है।
लड़कों की संख्या लड़कियों की संख्या से 8 अधिक
है। कुल वर्ग शक्ति क्या है? 11. बाइचुंग के पिता बाइचुंग के
दादा से 26 साल छोटे और बाइचुंग से 29
साल
बड़े हैं। तीनों की आयु का योग 135 वर्ष है। उनमें से प्रत्येक
की आयु क्या है? 12. अब से
पंद्रह वर्ष बाद रवि की आयु उसकी वर्तमान आयु की चार गुना होगी। रवि की वर्तमान
आयु क्या है? 13. एक
परिमेय संख्या ऐसी होती है कि जब आप इसे 5/2 से
गुणा करते हैं और गुणनफल में 2/3
जोड़ते हैं, तो आपको -7/12 मिलता
है। संख्या क्या है? 14. लक्ष्मी
एक बैंक में खजांची है। उसके पास क्रमश: ₹100, ₹50 और ₹10
मूल्यवर्ग के करेंसी नोट हैं। इन नोटों की संख्या का अनुपात 2:3:5 है।
लक्ष्मी के पास कुल नकद ₹ 4,00,000 है।
उसके पास प्रत्येक प्रकार के कितने नोट हैं? 15. मेरे
पास ₹1, ₹2 और ₹5
मूल्यवर्ग के सिक्कों में कुल ₹300 हैं। ₹2 के
सिक्कों की संख्या ₹5 के सिक्कों की संख्या का 3 गुना
है। सिक्कों की कुल संख्या 160 है।
प्रत्येक मूल्यवर्ग के कितने सिक्के मेरे पास हैं? 16. एक
निबंध प्रतियोगिता के आयोजक यह निर्णय लेते हैं कि प्रतियोगिता में विजेता को ₹
100 का पुरस्कार मिलता है और जो प्रतिभागी नहीं जीतता है उसे ₹
25 का पुरस्कार मिलता है। वितरित की गई कुल पुरस्कार राशि ₹
3,000 है। विजेताओं की संख्या ज्ञात कीजिए,
यदि प्रतिभागियों की कुल संख्या 63 है। |
EXERCISE
2.3
Solving Equations having the Variable on both Sides
दोनों पक्षों में चर वाले समीकरणों को हल करना
|
Solve the
following equations and check your results. 1. 3x = 2x + 18 2. 5t – 3 = 3t –
5 3. 5x + 9 = 5 +
3x 4. 4z + 3 = 6 +
2z 5. 2x – 1 = 14 –
x 6. 8x + 4 = 3 (x
– 1) + 7 7. x = 4/5 (x + 10) 8. 2x/3 + 1 = 7x/15 + 3 9. 2y + 5/3 = 26/3 – y 10. 3m = 5m – 8/5 |
निम्नलिखित समीकरणों को हल
करें और अपने परिणामों की जाँच करें। 1. 3x = 2x + 18 2. 5t – 3 = 3t –
5 3. 5x + 9 = 5 +
3x 4. 4z + 3 = 6 +
2z 5. 2x – 1 = 14 –
x 6. 8x + 4 = 3 (x
– 1) + 7 7. x = 4/5 (x + 10) 8. 2x/3 + 1 = 7x/15 + 3 9. 2y + 5/3 = 26/3 – y 10. 3m = 5m – 8/5 |
More
Applications of Linear Equations in One
Variable
एक चर में रैखिक
समीकरणों के कुछ और उदाहरण
|
1. Amina thinks
of a number and subtracts 5/2 from it.
She multiplies the result by 8. The result
now obtained is 3 times the same number she thought of. What is the number? 2. A positive
number is 5 times another number. If 21 is added to both the numbers, then
one of the new numbers becomes twice the other new number. What are the numbers? 3. Sum of the
digits of a two-digit number is 9. When we interchange the digits, it is found that the
resulting new number is greater than the original number by 27. What is the
two-digit number? 4. One of the two
digits of a two digit number is three times the other digit. If you interchange
the digits of this two-digit number and add the resulting number to the original
number, you get 88. What is the original number? 5. Shobo’s
mother’s present age is six times Shobo’s present age. Shobo’s age five years
from now will be one third of his mother’s present age. What are their present
ages? 6. There is a
narrow rectangular plot, reserved for a school, in Mahuli village. The length
and breadth of the plot are in the ratio 11:4. At the rate ₹100 per metre it will cost the village
panchayat ₹ 75000 to fence
the plot. What are the dimensions of the plot? 7. Hasan buys two
kinds of cloth materials for school uniforms, shirt material that costs him ₹ 50 per metre and trouser material that
costs him ₹ 90 per metre. For
every 3 meters of the shirt material he buys 2 metres of the trouser
material. He sells the materials at 12% and 10% profit respectively. His total
sale is ₹ 36,600. How much
trouser material did he buy? 8. Half of a herd
of deer are grazing in the field and three fourths of the remaining are
playing nearby. The rest 9 are drinking water from the pond. Find the number
of deer in the herd. 9. A grandfather
is ten times older than his granddaughter. He is also 54 years older than
her. Find their present ages. 10. Aman’s age is
three times his son’s age. Ten years ago he was five times his son’s age.
Find their present ages. |
1. अमीना एक संख्या के बारे में सोचती है और उसमें से 5/2 घटाती है। वह परिणाम को 8 से गुणा करती है। अब प्राप्त परिणाम उसी संख्या का 3 गुना है जिसके बारे में उसने सोचा था। संख्या क्या है? 2. एक धनात्मक संख्या दूसरी संख्या का 5 गुना है। यदि दोनों संख्याओं में 21 जोड़ दिया जाए, तो एक
नई संख्या दूसरी नई संख्या से दोगुनी हो जाती है। संख्याएं क्या हैं? 3. दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 9 है। जब हम अंकों को आपस में बदलते हैं,
तो यह पाया जाता है कि परिणामी नई संख्या
मूल संख्या से 27 अधिक है। दो अंकों की संख्या
क्या है? 4. दो अंकों की संख्या के दो अंकों में से एक अंक दूसरे अंक का तीन
गुना है। यदि आप इस दो अंकों की संख्या के अंकों को आपस में बदल दें और परिणामी
संख्या को मूल संख्या में जोड़ दें, तो आपको 88 प्राप्त होता है। मूल संख्या
क्या है? 5. शोबो की माँ की वर्तमान आयु शोबो की वर्तमान आयु की छह गुना है।
अब से पांच वर्ष बाद शोबो की आयु उसकी माता की वर्तमान आयु की एक तिहाई होगी।
उनकी वर्तमान आयु क्या है? 6. माहुली गांव में एक स्कूल के लिए आरक्षित एक संकीर्ण आयताकार
भूखंड है। प्लॉट की लंबाई और चौड़ाई 11:4 के अनुपात में है। ₹100 प्रति मीटर की दर से ग्राम पंचायत को प्लॉट की बाड़ लगाने के लिए
₹ 75000 खर्च होंगे। भूखंड की माप
क्या हैं? 7. हसन स्कूल यूनिफॉर्म के लिए
दो तरह की कपड़ा सामग्री खरीदता है, शर्ट की सामग्री जिसकी कीमत
उसे ₹ 50 प्रति मीटर और पतलून की सामग्री की कीमत ₹
90 प्रति
मीटर है। शर्ट सामग्री के प्रत्येक 3 मीटर के लिए वह 2
मीटर
पतलून सामग्री खरीदता है। वह सामग्री को क्रमशः 12% और 10%
लाभ पर
बेचता है। उसकी कुल बिक्री ₹36,600 है। उसने कितनी पतलून सामग्री
खरीदी? 8. हिरणों के एक झुण्ड का आधा भाग खेत में चर रहा है और शेष का तीन
चौथाई पास में खेल रहा है। बाकी 9 तालाब का पानी पी रहे हैं। झुंड में हिरणों की संख्या ज्ञात
कीजिए। 9. एक दादा अपनी पोती से दस गुना बड़ा है। वह भी उनसे 54 साल बड़े हैं। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। 10. अमन की आयु उसके पुत्र की आयु की तीन गुनी है। दस साल पहले वह
अपने बेटे की उम्र का पांच गुना था। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए। |
Reducing Equations to Simpler Form
समीकरणों को सरल रूप में कम करना
|
Solve the following linear
equations. 1. x/2 – 1/5 = x/3 + ¼ 2. n/2 – 3n/4 + 5n/6 = 21 3. x + 7 – 8x/3 = 17/6 – 5x/2 4. (x - 5)/3 = (x - 3)/5 5. (3t - 2)/4 – (2t + 3)/3 = 2/3 – t 6. m – (m - 1)/2 = 1 – (m - 2)/3 Simplify and solve the following linear equations. 7. 3(t – 3) = 5(2t + 1) 8. 15(y – 4) –2(y – 9) + 5(y + 6)
= 0 9. 3(5z – 7) – 2(9z – 11) = 4(8z –
13) – 17 10. 0.25(4f – 3) = 0.05(10f – 9) |
निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को
हल करें। 1. x/2 - 1/5 = x/3 +¼ 2. n / 2 - 3n / 4 + 5n / 6 = 21 3. x + 7 - 8x/3 = 17/6 - 5x/2 4. (x - 5)/3 = (x - 3)/5 5. (3t - 2)/4 -
(2t + 3)/3 =
2/3 - t 6. m – (m - 1)/2 = 1 – (m - 2)/3 निम्नलिखित रैखिक समीकरणों को
सरल कीजिए और हल कीजिए। 7. 3(t - 3) =
5(2t + 1) 8. 15(y - 4) -2(y - 9) +
5(y + 6) = 0 9. 3(5z - 7) -
2(9z - 11) =
4(8z - 13) -
17 10. 0.25(4f - 3) =
0.05(10f - 9) |
Equations Reducible to the Linear Form
रैखिक रूप में कम करने योग्य समीकरण
|
Solve the
following equations. 1. (8x - 3)/3x = 2 2. 9x/(7 – 6x) = 15 3. z/(z + 15) = 4/9 4. (3y + 4)/(2 – 6y) = -2/5 5. (7y + 4)/(y + 2) = -4/3 6. The ages of
Hari and Harry are in the ratio 5:7. Four years from now the ratio of their
ages will be 3:4. Find their present ages. 7. The
denominator of a rational number is greater than its numerator by 8. If the numerator
is increased by 17 and the denominator is decreased by 1, the number obtained
is 3/2. Find the rational number. |
निम्नलिखित समीकरणों को हल
करें। 1.
(8x - 3)/3x = 2 2.
9x/(7 - 6x) = 15 3.
z/(z + 15) = 4/9 4.
(3y + 4)/(2 - 6y) = -2/5 5.
(7y + 4)/(y + 2) = -4/3 6.
हरि और हैरी की आयु का अनुपात 5:7 है।
अब से चार वर्ष बाद उनकी आयु का अनुपात 3:4 होगा। उनकी वर्तमान आयु
ज्ञात कीजिए। 7.
एक परिमेय संख्या का हर उसके अंश से 8 अधिक
होता है। यदि अंश में 17 की
वृद्धि होती है और हर में 1
की कमी होती है,
तो प्राप्त संख्या 3/2
होती है। परिमेय संख्या ज्ञात कीजिए। |
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