NCERT MATHS CLASS 9 गणित कक्षा 9
INTRODUCTION TO ECLUID'S GEOMETRY
इकलुइड्स की ज्यामिति का परिचय
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IMPORTANT POINTS
TO REMEMBER IN CHAPTER 5
1. Though Euclid defined a point, a line, and a plane, the definitions are not accepted by mathematicians. Therefore, these terms are now taken as undefined.
2. Axioms or postulates are the assumptions which are obvious universal truths. They are not proved.
3. Theorems are statements which are proved, using definitions, axioms, previously proved statements and deductive reasoning.
4. Some of Euclid’s axioms were : (1) Things which are equal to the same thing are equal to one another. (2) If equals are added to equals, the wholes are equal. (3) If equals are subtracted from equals, the remainders are equal. (4) Things which coincide with one another are equal to one another. (5) The whole is greater than the part. (6) Things which are double of the same things are equal to one another. (7) Things which are halves of the same things are equal to one another.
5. Euclid’s postulates were :
Postulate 1 : A straight line may be drawn from any one point to any other point.
Postulate 2 : A terminated line can be produced indefinitely.
Postulate 3 : A circle can be drawn with any centre and any radius.
Postulate 4 : All right angles are equal to one another.
Postulate 5 : If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on the same side of it taken together less than two right angles, then the two straight lines, if produced indefinitely, meet on that side on which the sum of angles is less than two right angles.
6. Two equivalent versions of Euclid’s fifth postulate are: (i) ‘For every line l and for every point P not lying on l, there exists a unique line m passing through P and parallel to l’. (ii) Two distinct intersecting lines cannot be parallel to the same line.
7. All the attempts to prove Euclid’s fifth postulate using the first 4 postulates failed. But they led to the discovery of several other geometries, called non-Euclidean geometries.
1. हालांकि यूक्लिड ने एक बिंदु, एक रेखा और एक तल को परिभाषित किया, लेकिन गणितज्ञों द्वारा परिभाषाओं को स्वीकार नहीं किया जाता है। इसलिए, इन शर्तों को अब अपरिभाषित के रूप में लिया जाता है।
2. अभिगृहीत या अभिधारणा वे मान्यताएँ हैं जो स्पष्ट सार्वभौमिक सत्य हैं। वे सिद्ध नहीं हैं।
3. प्रमेय वे कथन हैं जो परिभाषाओं, अभिगृहीतों, पूर्व सिद्ध कथनों और निगमनात्मक तर्कों का उपयोग करके सिद्ध किए जाते हैं।
4. यूक्लिड के कुछ अभिगृहीत थे : (1) जो वस्तुएँ एक ही वस्तु के बराबर होती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं। (२) यदि बराबर को बराबर में जोड़ा जाता है, तो पूर्ण बराबर होते हैं। (३) यदि बराबर में से बराबर घटाया जाता है, तो शेषफल बराबर होते हैं। (४) चीजें जो एक दूसरे के साथ मेल खाती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं। (५) पूर्ण भाग से बड़ा है। (६) जो वस्तुएँ एक ही वस्तु की दुगुनी होती हैं वे एक दूसरे के बराबर होती हैं। (७) वे वस्तुएँ जो एक ही वस्तु की आधी होती हैं, एक दूसरे के बराबर होती हैं।
5. यूक्लिड की अभिधारणाएँ थीं :
अभिधारणा 1: किसी एक बिंदु
से किसी अन्य बिंदु तक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।
अभिधारणा २ : एक समाप्त रेखा को अनिश्चित काल
तक बनाया जा सकता है।
अभिधारणा ३ : किसी भी केंद्र और किसी भी
त्रिज्या के साथ एक वृत्त खींचा जा सकता है। अभिधारणा 4 : सभी समकोण एक
दूसरे के बराबर होते हैं।
अभिधारणा 5 : यदि दो सीधी रेखाओं पर पड़ने वाली एक सीधी रेखा उसके एक ही ओर के अंतः कोणों को मिलाकर दो समकोण से कम बनाती है, तो दो सीधी रेखाएँ, यदि अनिश्चित काल तक उत्पन्न होती हैं, तो उस तरफ मिलती हैं जिस पर कोण दो समकोण से कम है।
6. यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा के दो समकक्ष संस्करण हैं: (i) 'प्रत्येक रेखा l के लिए और प्रत्येक बिंदु P के लिए जो l पर नहीं है, वहाँ एक अद्वितीय रेखा m मौजूद है जो P से होकर गुजरती है और l के समानांतर है'। (ii) दो भिन्न प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक ही रेखा के समानांतर नहीं हो सकतीं।
7. पहले 4 अभिधारणाओं का उपयोग करके यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा को सिद्ध करने के सभी प्रयास विफल रहे। लेकिन उन्होंने कई अन्य ज्यामिति की खोज की, जिन्हें गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति कहा जाता है।
EXERCISE 5.1
1. Which of the following statements are true and which are false? Give reasons for your answers. (i) Only one line can pass through a single point. (ii) There are an infinite number of lines which pass through two distinct points. (iii) A terminated line can be produced indefinitely on both the sides. (iv) If two circles are equal, then their radii are equal. (v) In Fig. 5.9, if AB = PQ and PQ = XY, then AB = XY.
2. Give a definition for each of the following terms. Are there other terms that need to be defined first? What are they, and how might you define them? (i) parallel lines (ii) perpendicular lines (iii) line segment (iv) radius of a circle (v) square
3. Consider two ‘postulates’ given below: (i) Given any two distinct points A and B, there exists a third point C which is in between A and B. (ii) There exist at least three points that are not on the same line. Do these postulates contain any undefined terms? Are these postulates consistent? Do they follow from Euclid’s postulates? Explain.
4. If a point C lies between two points A and B such that AC = BC, then prove that AC = 1/2 AB. Explain by drawing the figure.
5. In Question 4, point C is called a mid-point of line segment AB. Prove that every line segment has one and only one mid-point.
6. In Fig. 5.10, if AC = BD, then prove that AB = CD.
7. Why is Axiom 5, in the list of Euclid’s axioms, considered a ‘universal truth’? (Note that the question is not about the fifth postulate.)
1. निम्नलिखित में से कौन से कथन सत्य हैं और कौन से असत्य हैं? अपने उत्तरों के लिए कारण दीजिए। (i) एक बिंदु से केवल एक रेखा गुजर सकती है। (ii) अनंत रेखाएँ हैं जो दो भिन्न बिंदुओं से होकर गुजरती हैं। (iii) एक समाप्त रेखा दोनों ओर अनिश्चित काल तक उत्पन्न की जा सकती है। (iv) यदि दो वृत्त बराबर हों, तो उनकी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं। (v) आकृति 5.9 में, यदि AB = PQ और PQ = XY, तो AB = XY।
2. निम्नलिखित में से प्रत्येक पद की परिभाषा दीजिए। क्या ऐसे अन्य शब्द हैं जिन्हें पहले परिभाषित करने की आवश्यकता है? वे क्या हैं, और आप उन्हें कैसे परिभाषित कर सकते हैं? (i) समानांतर रेखाएं (ii) लंबवत रेखाएं (iii) रेखा खंड (iv) एक वृत्त की त्रिज्या (v) वर्ग
3. नीचे दिए गए दो अभिधारणाओं पर विचार करें: (i) किन्हीं दो भिन्न बिंदुओं A और B को देखते हुए, एक तीसरा बिंदु C मौजूद है जो A और B के बीच में है। (ii) कम से कम तीन बिंदु मौजूद हैं जो बिंदु पर नहीं हैं। एक ही पंक्ति। क्या इन अभिधारणाओं में कोई अपरिभाषित पद हैं? क्या ये अभिधारणा सुसंगत हैं? क्या वे यूक्लिड की अभिधारणाओं का अनुसरण करते हैं? समझाओ।
4. यदि एक बिंदु C दो बिंदुओं A और B के बीच इस प्रकार स्थित है कि AC = BC है, तो सिद्ध कीजिए कि AC = 1/2 AB है। चित्र बनाकर समझाइए।
5. प्रश्न 4 में, बिंदु C को रेखाखंड AB का मध्य-बिंदु कहा जाता है। सिद्ध कीजिए कि प्रत्येक रेखाखंड में एक और केवल एक मध्य-बिंदु होता है।
6. आकृति 5.10 में, यदि AC = BD है, तो सिद्ध कीजिए कि AB = CD है।
7. यूक्लिड के अभिगृहीतों की सूची में अभिगृहीत 5 को 'सार्वभौमिक सत्य' क्यों माना जाता है? (ध्यान दें कि प्रश्न पांचवीं अभिधारणा के बारे में नहीं है।)
EXERCISE 5.2
1. How would you rewrite Euclid’s fifth postulate so that it would be easier to understand?
2. Does Euclid’s fifth postulate imply the existence of parallel lines? Explain.
1. आप यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा को कैसे फिर से लिखेंगे ताकि इसे समझना आसान हो जाए?
2. क्या यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा समानांतर रेखाओं के अस्तित्व का संकेत देती है? समझाओ।
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