NCERT MATHS CLASS 9 गणित कक्षा 9
TRIANGLES त्रिभुज
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Important points to remember in exercise 7
1. Two figures are congruent, if they are of the same shape and of the same size.
2. Two circles of the same radii are congruent. 3
. Two squares of the same sides are congruent.
4. If two triangles ABC and PQR are congruent under the correspondence A ↔ P, B ↔ Q and C ↔ R, then symbolically, it is expressed as ∆ ABC ≅ ∆ PQR.
5. If two sides and the included angle of one triangle are equal to two sides and the included angle of the other triangle, then the two triangles are congruent (SAS Congruence Rule).
6. If two angles and the included side of one triangle are equal to two angles and the included side of the other triangle, then the two triangles are congruent (ASA Congruence Rule).
7. If two angles and one side of one triangle are equal to two angles and the corresponding side of the other triangle, then the two triangles are congruent (AAS Congruence Rule).
8. Angles opposite to equal sides of a triangle are equal.
9. Sides opposite to equal angles of a triangle are equal.
10. Each angle of an equilateral triangle is of 60°.
11. If three sides of one triangle are equal to three sides of the other triangle, then the two triangles are congruent (SSS Congruence Rule).
12. If in two right triangles, hypotenuse and one side of a triangle are equal to the hypotenuse and one side of other triangle, then the two triangles are congruent (RHS Congruence Rule).
13. In a triangle, angle opposite to the longer side is larger (greater).
14. In a triangle, side opposite to the larger (greater) angle is longer.
15. Sum of any two sides of a triangle is greater than the third side.
1. दो आकृतियाँ सर्वांगसम होती हैं, यदि
वे एक ही आकार और एक ही आकार की हों।
2. एक ही त्रिज्या वाले दो वृत्त
सर्वांगसम होते हैं। 3
. एक ही भुजा के दो वर्ग सर्वांगसम होते
हैं।
4. यदि दो त्रिभुज ABC और PQR पत्राचार
A P, B ↔ Q और C R के
अंतर्गत सर्वांगसम हैं, तो प्रतीकात्मक रूप से इसे ABC PQR के
रूप में व्यक्त किया जाता है।
5. यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और
सम्मिलित कोण दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और सम्मिलित कोणों के बराबर हों, तो
दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं (SAS सर्वांगसमता
नियम)।
6. यदि एक त्रिभुज के दो कोण और सम्मिलित
भुजा दूसरे त्रिभुज के दो कोणों और सम्मिलित भुजा के बराबर हों, तो
दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं (एएसए सर्वांगसमता नियम)।
7. यदि एक त्रिभुज के दो कोण और एक भुजा
दूसरे त्रिभुज के दो कोणों और संगत भुजा के बराबर हों, तो
दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं (AAS सर्वांगसमता
नियम)।
8. किसी त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख
कोण बराबर होते हैं।
9. एक
त्रिभुज के समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।
10. एक समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° का
होता है।
11. यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ दूसरे
त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो दोनों
त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं (SSS सर्वांगसमता
नियम)।
12. यदि दो समकोण त्रिभुजों में, कर्ण
और एक त्रिभुज की एक भुजा कर्ण और दूसरे त्रिभुज की एक भुजा के बराबर हो, तो
दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं (RHS सर्वांगसमता
नियम)।
13. एक त्रिभुज में बड़ी भुजा के सम्मुख
कोण बड़ा (बड़ा) होता है।
14. एक त्रिभुज में बड़े (बड़े) कोण की
सम्मुख भुजा लंबी होती है।
15. किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं का
योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।
EXERCISE 7.1
1. In quadrilateral ACBD, AC = AD and AB bisects ∠ A (see Fig. 7.16). Show that ∆ ABC ≅ ∆ ABD. What can you say about BC and BD?
2. ABCD is a quadrilateral in which AD = BC and ∠ DAB = ∠ CBA (see Fig. 7.17). Prove that (i) ∆ ABD ≅ ∆ BAC (ii) BD = AC (iii) ∠ ABD = ∠ BAC.
3. AD and BC are equal perpendiculars to a line segment AB (see Fig. 7.18). Show that CD bisects AB.
4. l and m are two parallel lines intersected by another
pair of parallel lines p and q (see Fig. 7.19). Show that ∆ ABC ≅ ∆ CDA.
5. Line l is the bisector of an angle ∠ A and B is any point on l. BP and BQ are perpendiculars from B to the arms of ∠ A (see Fig. 7.20). Show that: (i) ∆ APB ≅ ∆ AQB (ii) BP = BQ or B is equidistant from the arms of ∠ A.
6. In Fig. 7.21, AC = AE, AB = AD and ∠ BAD = ∠ EAC. Show
that BC = DE.
7. AB is a line segment and P is its mid-point. D and E are points on the same side of AB such that ∠ BAD = ∠ ABE and ∠ EPA = ∠ DPB (see Fig. 7.22). Show that (i) ∆ DAP ≅ ∆ EBP (ii) AD = BE
8. In right triangle ABC, right angled at C, M is the mid-point of hypotenuse AB. C is joined to M and produced to a point D such that DM = CM. Point D is joined to point B (see Fig. 7.23). Show that: (i) ∆ AMC ≅ ∆ BMD (ii) ∠ DBC is a right angle. (iii) ∆ DBC ≅ ∆ ACB (iv) CM = 1/2 AB
1. चतुर्भुज ACBD में, AC = AD और AB ∠ A को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति 7.16)। दर्शाइए कि ABC ABD। आप BC और BD के बारे में क्या कह सकते हैं?
2. ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें AD = BC और Z DAB = Z CBA है (देखिए आकृति 7.17)। सिद्ध कीजिए कि (i) ABD ∆ BAC (ii) BD = AC (iii) ABD = BAC।
3. AD और BC एक रेखाखंड AB पर समान लंब हैं (देखिए आकृति 7.18)। दर्शाइए कि CD AB को समद्विभाजित करती है।
4. l और m दो समानांतर रेखाएँ हैं जो समानांतर रेखाओं p और q के एक अन्य युग्म द्वारा प्रतिच्छेदित होती हैं (देखिए आकृति 7.19)। दर्शाइए कि ABC CDA।
5. रेखा l कोण ∠ A का समद्विभाजक है और B, l पर कोई बिंदु है। BP और BQ, B से A की भुजाओं पर लंबवत हैं (देखिए आकृति 7.20)। दर्शाइए कि: (i) APB AQB (ii) BP = BQ या B, A की भुजाओं से समान दूरी पर है।
6. आकृति 7.21 में, AC = AE, AB = AD और Z BAD = Z EAC। दर्शाइए कि BC = DE है।
7. AB एक रेखाखंड है और P इसका मध्य-बिंदु है। D और E AB के एक ही ओर स्थित बिंदु इस प्रकार हैं कि ∠ BAD = ABE और EPA = DPB (देखिए आकृति 7.22)। दर्शाइए कि (i) DAP EBP (ii) AD = BE
8. समकोण त्रिभुज ABC में, C पर समकोण, M कर्ण AB का मध्य-बिंदु है। C को M से जोड़ा जाता है और बिंदु D तक इस प्रकार बढ़ाया जाता है कि DM = CM हो। बिंदु D को बिंदु B से जोड़ा गया है (देखिए आकृति 7.23)। दर्शाइए कि: (i) AMC ≅ BMD (ii) DBC एक समकोण है। (iii) ∆ डीबीसी ≅ एसीबी (iv) सीएम = 1/2 एबी
EXERCISE 7.2
1. In an isosceles triangle ABC, with AB = AC, the bisectors of ∠ B and ∠ C intersect each other at O. Join A to O. Show that : (i) OB = OC (ii) AO bisects ∠ A
2. In ∆ ABC, AD is the perpendicular bisector of BC (see Fig. 7.30). Show that ∆ ABC is an isosceles triangle in which AB = AC.
3. ABC is an isosceles triangle in which altitudes BE and CF are drawn to equal sides AC and AB respectively (see Fig. 7.31). Show that these altitudes are equal.
4. ABC is a triangle in which altitudes BE and CF to sides AC and AB are equal (see Fig. 7.32). Show that (i) ∆ ABE ≅ ∆ ACF (ii) AB = AC, i.e., ABC is an isosceles triangle.
5. ABC and DBC are two isosceles triangles on the same base BC (see Fig. 7.33). Show that ∠ ABD = ∠ ACD.
6. ∆ABC is an isosceles triangle in which AB = AC. Side BA is produced to D such that AD = AB (see Fig. 7.34). Show that ∠ BCD is a right angle.
7. ABC is a right angled triangle in which ∠ A = 90° and AB = AC. Find ∠ B and ∠ C. 8. Show that the angles of an equilateral triangle are 60° each
1. एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC में, AB = AC के साथ, B और ∠ C के समद्विभाजक एक दूसरे को O पर काटते हैं। A को O से मिलाइए। दर्शाइए कि : (i) OB = OC (ii) AO ∠ A को समद्विभाजित करता है।
2. ABC में, AD BC का लंब समद्विभाजक है (देखिए आकृति 7.30)। दर्शाइए कि ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है।
3. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें समान भुजाओं AC और AB पर क्रमश: BE और CF शीर्षलम्ब खींचे जाते हैं (देखिए आकृति 7.31)। दिखाएँ कि ये ऊँचाई बराबर हैं।
4. ABC एक त्रिभुज है जिसमें AC और AB की भुजाओं के शीर्षलंब BE और CF बराबर हैं (देखिए आकृति 7.32)। दर्शाइए कि (i) ∆ ABE ACF (ii) AB = AC, अर्थात् ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
5. ABC और DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं (देखिए आकृति 7.33)। दर्शाइए कि ABD = ACD है।
6. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। भुजा BA को D तक इस प्रकार बढ़ाया जाता है कि AD = AB (देखिए आकृति 7.34)। दर्शाइए कि BCD एक समकोण है।
7. ABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें A = 90° और AB = AC है। B और ∠C खोजें। 8. दिखाएँ कि एक समबाहु त्रिभुज के प्रत्येक कोण 60° हैं
EXERCISE 7.3
1. ∆ ABC and ∆ DBC are two isosceles triangles on the same base BC and vertices A and D are on the same side of BC (see Fig. 7.39). If AD is extended to intersect BC at P, show that (i) ∆ ABD ≅ ∆ ACD (ii) ∆ ABP≅ ∆ ACP (iii) AP bisects ∠ A as well as ∠ D. (iv) AP is the perpendicular bisector of BC.
2. AD is an altitude of an isosceles triangle ABC in which AB = AC. Show that (i) AD bisects BC (ii) AD bisects ∠ A.
3. Two sides AB and BC and median AM of one triangle ABC are respectively equal to sides PQ and QR and median PN of ∆ PQR (see Fig. 7.40). Show that: (i) ∆ ABM ≅ ∆ PQN (ii) ∆ ABC ≅ ∆ PQR
4. BE and CF are two equal altitudes of a triangle ABC. Using RHS congruence rule, prove that the triangle ABC is isosceles.
5. ABC is an isosceles triangle with AB = AC. Draw AP ⊥ BC to show that ∠ B = ∠ C.
1. ∆ABC और ∆ DBC एक ही आधार BC पर स्थित दो समद्विबाहु त्रिभुज हैं और शीर्ष A और D BC के एक ही ओर हैं (देखिए आकृति 7.39)। यदि AD को BC को P पर प्रतिच्छेद करने के लिए बढ़ाया जाता है, तो दर्शाइए कि (i) ∆ABD≅ ∆ ACD (ii) ∆ ABP≅ ACP (iii) AP, ∠ A के साथ-साथ ∠ D को भी समद्विभाजित करता है। AP, BC का लम्ब समद्विभाजक है।.
2. AD एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC का एक शीर्षलंब है जिसमें AB = AC है। दर्शाइए कि (i) AD, BC को समद्विभाजित करता है (ii) AD, ∠A को समद्विभाजित करता है।
3. एक त्रिभुज ABC की दो भुजाएँ AB और BC और माध्यिका AM क्रमशः भुजाओं PQ और QR के बराबर हैं और ∆PQR की माध्यिका PN है (देखिए आकृति 7.40)। दर्शाइए कि: (i) ∆ ABM ≅∆ PQN (ii) ∆ ABC≅ ∆ PQR
4. BE और CF एक त्रिभुज ABC के दो बराबर शीर्षलंब हैं। RHS सर्वांगसमता नियम का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज ABC समद्विबाहु है।
5. ∆ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AB = AC है। यह दर्शाने के लिए AP⊥BC खींचिए कि ∠ B = ⊥C.
EXERCISE 7.4
1. Show that in a right angled triangle, the hypotenuse is the longest side.
2. In Fig. 7.48, sides AB and AC of ∆ ABC are extended to points P and Q respectively. Also, ∠ PBC < ∠ QCB. Show that AC > AB.
3. In Fig. 7.49, ∠ B < ∠ A and ∠ C < ∠ D. Show that AD < BC.
4. AB and CD are respectively the smallest and longest sides of a quadrilateral ABCD (see Fig. 7.50). Show that ∠ A > ∠ C and ∠ B > ∠ D.
5. In Fig 7.51, PR > PQ and PS bisects ∠ QPR. Prove that ∠ PSR
> ∠ PSQ.
6. Show that of all line segments drawn from a given point not on it, the perpendicular line segment is the shortest.
1. दिखाएँ कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण सबसे लंबी भुजा होती है।
2. आकृति 7.48 में, ∆ABC की भुजाओं AB और AC को क्रमशः बिंदु P और Q तक बढ़ाया गया है। साथ ही, < PBC <∠ QCB। दर्शाइए कि AC > AB।
3. आकृति 7.49 में, B < A और ∠ C < ∠D. दर्शाइए कि AD < BC है।
4. AB और CD एक चतुर्भुज ABCD की क्रमशः सबसे छोटी और सबसे लंबी भुजाएँ हैं (देखिए आकृति 7.50)। दर्शाइए कि ∠A > ∠C और ∠B > ∠D.
5. आकृति 7.51 में, PR > PQ और PS ∠QPR को समद्विभाजित करते हैं। सिद्ध कीजिए कि ∠PSR > ∠PSQ
6. दर्शाइए कि किसी दिए गए बिंदु से खींचे गए सभी रेखाखंडों में से लंब रेखाखंड सबसे छोटा होता है।
EXERCISE 7.5 (Optional)
1. ABC is a triangle. Locate a point in the interior of ∆ ABC which is equidistant from all the vertices of ∆ ABC.
2. In a triangle locate a point in its interior which is equidistant from all the sides of the triangle.
3. In a huge park, people are concentrated at three points (see Fig. 7.52):
A : where there are different slides and swings for children,
B : near which a man-made lake is situated,
C : which is near to a large parking and exit. Where should an icecream parlour be set up so that maximum number of persons can approach it?
(Hint : The parlour should be equidistant from A, B and C)
4. Complete the hexagonal and star shaped Rangolies [see Fig. 7.53 (i) and (ii)] by filling them with as many equilateral triangles of side 1 cm as you can. Count the number of triangles in each case. Which has more triangles? (i) (ii)
1. ABC एक त्रिभुज है। ABC के
अभ्यंतर में एक बिंदु ज्ञात कीजिए जो ∆ ABC के सभी शीर्षों
से समान दूरी पर है।
2. एक त्रिभुज में इसके अभ्यंतर में एक बिंदु
खोजें जो त्रिभुज की सभी भुजाओं से समान दूरी पर हो।
3. एक विशाल पार्क में, लोग
तीन बिंदुओं पर केंद्रित होते हैं (चित्र 7.52 देखें):
ए: जहां बच्चों के लिए अलग-अलग स्लाइड और झूले
हैं,
B : जिसके निकट एक मानव निर्मित झील स्थित है,
सी: जो एक बड़ी पार्किंग और निकास के निकट है।
एक आइसक्रीम पार्लर कहाँ स्थापित किया जाना चाहिए ताकि अधिक से अधिक लोग उससे
संपर्क कर सकें?
(संकेत: पार्लर ए, बी और सी से
समान दूरी पर होना चाहिए)
4. षट्कोणीय और तारे के आकार की रंगोली [देखिए
आकृति 7.53 (i) और (ii)] को यथासंभव 1 सेमी
भुजा वाले समबाहु त्रिभुजों से भरकर पूरा कीजिए। प्रत्येक स्थिति में त्रिभुजों
की संख्या गिनें। किसमें अधिक त्रिभुज हैं? (i) (ii)
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