NCERT MATHS CLASS 9 गणित कक्षा 9
LINES AND ANGLES
रेखाएं और कोण
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Important Points to remember in Chapter 6
1. If a ray stands on a line, then the sum of the two adjacent angles so formed is 180° and viceversa. This property is called as the Linear pair axiom.
2. If two lines intersect each other, then the vertically opposite angles are equal.
3. If a transversal intersects two parallel lines, then (i) each pair of corresponding angles is equal, (ii) each pair of alternate interior angles is equal, (iii) each pair of interior angles on the same side of the transversal is supplementary.
4. If a transversal intersects two lines such that, either (i) any one pair of corresponding angles is equal, or (ii) any one pair of alternate interior angles is equal, or (iii) any one pair of interior angles on the same side of the transversal is supplementary, then the lines are parallel.
5. Lines which are parallel to a given line are parallel to each other.
6. The sum of the three angles of a triangle is 180°.
7. If a side of a triangle is produced, the exterior angle so formed is equal to the sum of the two interior opposite angles.
1. यदि एक किरण एक रेखा पर खड़ी होती है, तो इस प्रकार बने दो आसन्न कोणों का योग 180° और इसके विपरीत होता है। इस गुण को रैखिक युग्म अभिगृहीत कहते हैं।
2. यदि दो रेखाएं एक दूसरे को काटती हैं, तो शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।
3. यदि एक तिर्यक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है, तो (i) संगत कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है, (ii) एकांतर अंत: कोणों का प्रत्येक युग्म बराबर होता है, (iii) तिर्यक रेखा के एक ही ओर के अंतः कोणों का प्रत्येक युग्म होता है पूरक।
4. यदि एक तिर्यक रेखा दो रेखाओं को इस प्रकार काटती है कि या तो (i) संगत कोणों का कोई एक युग्म बराबर हो, या (ii) एकांतर अंतः कोणों का कोई एक युग्म बराबर हो, या (iii) अंतः कोणों का कोई एक युग्म तिर्यक रेखा की एक ही भुजा संपूरक होती है, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं।
5. जो रेखाएँ एक दी हुई रेखा के समांतर होती हैं, वे एक-दूसरे के समानांतर होती हैं।
6. त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।
7. यदि किसी त्रिभुज की एक भुजा बनाई जाती है, तो इस प्रकार बना बाह्य कोण दो अंतः सम्मुख कोणों के योग के बराबर होता है।
EXERCISE 6.1
1. In Fig. 6.13, lines AB and CD intersect at O. If ∠ AOC + ∠ BOE = 70° and ∠ BOD = 40°, find ∠ BOE and reflex ∠ COE.
2. In Fig. 6.14, lines XY and MN intersect at O. If ∠ POY = 90° and a : b = 2 : 3, find c.
3. In Fig. 6.15, ∠ PQR = ∠ PRQ, then prove that ∠ PQS = ∠ PRT.
4. In Fig. 6.16, if x + y = w + z, then prove that AOB is a line.
5. In Fig. 6.17, POQ is a line. Ray OR is perpendicular to line PQ. OS is another ray lying between rays OP and OR. Prove that ∠ ROS = 1/2 (∠ QOS – ∠ POS).
6. It is given that ∠ XYZ = 64° and XY is produced to point P. Draw a figure from the given information. If ray YQ bisects ∠ ZYP, find ∠ XYQ and reflex ∠ QYP.
1. आकृति 6.13 में, रेखाएँ AB और CD, O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि Z AOC + Z BOE = 70° और Z BOD = 40°, तो Z BOE और प्रतिवर्त ∠ COE ज्ञात कीजिए।
2. आकृति 6.14 में, रेखाएँ XY और MN, O पर प्रतिच्छेद करती हैं। यदि Z POY = 90° और a: b = 2: 3 है, तो c ज्ञात कीजिए।
3. आकृति 6.15 में, Z PQR = Z PRQ, तो सिद्ध कीजिए कि Z PQS = Z PRT।
4. आकृति 6.16 में, यदि x + y = w + z, तो सिद्ध कीजिए कि AOB एक रेखा है।
5. आकृति 6.17 में, POQ एक रेखा है। किरण OR रेखा PQ पर लंबवत है। OS एक और किरण है जो OP और OR किरणों के बीच स्थित है। सिद्ध कीजिए कि ROS = 1/2 (∠ QOS - POS)।
6. यह दिया गया है कि XYZ = 64° और XY को बिंदु P तक बढ़ाया जाता है। दी गई जानकारी से एक आकृति बनाएं। यदि किरण YQ ZYP को समद्विभाजित करती है, तो XYQ और प्रतिवर्त QYP ज्ञात कीजिए।
EXERCISE 6.2
1. In Fig. 6.28, find the values of x and y and then show that AB || CD.
2. In Fig. 6.29, if AB || CD, CD || EF and y : z = 3 : 7, find x.
3. In Fig. 6.30, if AB || CD, EF ⊥ CD and ∠ GED =
126°, find ∠ AGE, ∠ GEF and ∠ FGE.
4. In Fig. 6.31, if PQ || ST, ∠ PQR = 110° and ∠ RST = 130°, find ∠ QRS. [Hint : Draw a line parallel to ST through point R.]
5. In Fig. 6.32, if AB || CD, ∠ APQ = 50°
and ∠ PRD = 127°, find x and y.
6. In Fig. 6.33, PQ and RS are two mirrors placed parallel to each other. An incident ray AB strikes the mirror PQ at B, the reflected ray moves along the path BC and strikes the mirror RS at C and again reflects back along CD. Prove that AB || CD.
1. आकृति 6.28 में, x और y के मान ज्ञात कीजिए और फिर दर्शाइए कि AB || सीडी.
2. आकृति 6.29 में, यदि AB || सीडी, सीडी || EF और y: z = 3: 7, x ज्ञात कीजिए।
3. आकृति 6.30 में, यदि AB || CD, EF CD और ∠ GED = 126°, AGE, ∠ GEF और FGE ज्ञात कीजिए।
4. आकृति 6.31 में, यदि PQ || एसटी, पीक्यूआर = 110° और ∠ आरएसटी = 130°, क्यूआरएस ज्ञात कीजिए। [संकेत : बिंदु R से होकर ST के समांतर एक रेखा खींचिए।]
5. आकृति 6.32 में, यदि AB || सीडी, एपीक्यू = 50° और ∠ पीआरडी = 127°, x और y ज्ञात कीजिए।
6. आकृति 6.33 में, PQ और RS एक दूसरे के समानांतर रखे गए दो दर्पण हैं। एक आपतित किरण AB, दर्पण PQ से B पर टकराती है, परावर्तित किरण पथ BC पर चलती है और दर्पण RS से C पर टकराती है और पुनः CD के अनुदिश परावर्तित होती है। सिद्ध कीजिए कि AB || CD
EXERCISE 6.3
1. In Fig. 6.39, sides QP and RQ of ∆ PQR are produced to points S and T respectively. If ∠ SPR = 135° and ∠ PQT = 110°, find ∠ PRQ.
2. In Fig. 6.40, ∠ X = 62°, ∠ XYZ = 54°. If YO and ZO are the bisectors of ∠ XYZ and ∠ XZY respectively of ∆ XYZ, find ∠ OZY and ∠ YOZ.
3. In Fig. 6.41, if AB || DE, ∠ BAC = 35°
and ∠ CDE = 53°, find ∠ DCE.
4. In Fig. 6.42, if lines PQ and RS intersect at point T,
such that ∠ PRT = 40°, ∠ RPT = 95° and ∠ TSQ = 75°,
find ∠ SQT.
5. In Fig. 6.43, if PQ ⊥ PS, PQ || SR, ∠ SQR = 28° and ∠ QRT = 65°, then find the values of x and y.
6. In Fig. 6.44, the side QR of ∆ PQR is produced to a point S. If the bisectors of ∠ PQR and ∠ PRS meet at point T, then prove that ∠ QTR = 1/2 ∠ QPR.
1. आकृति 6.39 में, PQR की भुजाएँ QP और RQ क्रमशः बिंदुओं S और T तक बढ़ाई गई हैं। यदि SPR = 135° और ∠ PQT = 110°, तो PRQ ज्ञात कीजिए।
2. आकृति 6.40 में, Z X = 62°, Z XYZ = 54°। यदि YO और ZO, XYZ के क्रमशः XY XYZ और ∠ XZY के समद्विभाजक हैं, तो ∠ OZY और YOZ ज्ञात कीजिए।
3. आकृति 6.41 में, यदि AB || DE, BAC = 35° और ∠ CDE = 53°, DCE ज्ञात कीजिए।
4. आकृति 6.42 में, यदि रेखाएँ PQ और RS बिंदु T पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करती हैं कि Z PRT = 40°, Z RPT = 95° और Z TSQ = 75° है, तो Z SQT ज्ञात कीजिए।
5. आकृति 6.43 में, यदि PQ PS, PQ || SR, SQR = 28° और ∠QRT = 65°, तो x और y के मान ज्ञात कीजिए।
6. आकृति 6.44 में, PQR की भुजा QR को बिंदु S तक बढ़ाया जाता है। यदि PQR और ∠ PRS के समद्विभाजक बिंदु T पर मिलते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि QTR = 1/2 ∠ QPR
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