NCERT MATHS CLASS 9 गणित कक्षा 9
QUADRILATERALS चतुर्भुज
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CHAPTER 8: QUADRILATERALS
Important points to remember in Chapter 8
1. Sum of the angles of a quadrilateral is 360°.
2. A diagonal of a parallelogram divides it into two
congruent triangles.
3. In a parallelogram, (i) opposite sides are equal (ii)
opposite angles are equal (iii) diagonals bisect each other
4. A quadrilateral is a parallelogram, if (i) opposite
sides are equal or (ii) opposite angles are equal or (iii) diagonals bisect
each other or (iv)a pair of opposite sides is equal and parallel
5. Diagonals of a rectangle bisect each other and are
equal and vice-versa.
6. Diagonals of a rhombus bisect each other at right
angles and vice-versa.
7. Diagonals of a square bisect each other at right
angles and are equal, and vice-versa.
8. The line-segment joining the mid-points of any two
sides of a triangle is parallel to the third side and is half of it.
9. A line through the mid-point of a side of a triangle
parallel to another side bisects the third side.
10. The quadrilateral formed by joining the mid-points of
the sides of a quadrilateral, in order, is a parallelogram.
1. एक चतुर्भुज के कोणों का योग 360°
होता है।
2. एक समांतर चतुर्भुज का एक विकर्ण इसे
दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है।
3. एक समान्तर चतुर्भुज में, (i) सम्मुख
भुजाएँ बराबर होती हैं (ii) सम्मुख कोण बराबर होते हैं (iii) विकर्ण
परस्पर समद्विभाजित करते हैं।
4. एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता
है, यदि (i) सम्मुख
भुजाएँ बराबर हों या (ii) सम्मुख कोण बराबर हों या (iii) विकर्ण
एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हों या (iv) सम्मुख
भुजाओं का एक युग्म बराबर और समानांतर हो
5. एक आयत के विकर्ण एक दूसरे को
समद्विभाजित करते हैं और बराबर होते हैं और इसके विपरीत।
6. एक समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण
पर समद्विभाजित करते हैं और इसके विपरीत।
7. एक वर्ग के विकर्ण एक दूसरे को समकोण
पर समद्विभाजित करते हैं और बराबर होते हैं, और
इसके विपरीत।
8. किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के
मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसका आधा
होता है।
9. एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु
से दूसरी भुजा के समांतर एक रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।
10. किसी चतुर्भुज की भुजाओं के
मध्य-बिंदुओं को क्रम से मिलाने पर बना चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है।
EXERCISE 8.1
1. The angles of quadrilateral are in the ratio 3 : 5 : 9 : 13. Find all the angles of the quadrilateral.
2. If the diagonals of a parallelogram are equal, then show that it is a rectangle.
3. Show that if the diagonals of a quadrilateral bisect each other at right angles, then it is a rhombus.
4. Show that the diagonals of a square are equal and bisect each other at right angles.
5. Show that if the diagonals of a quadrilateral are equal and bisect each other at right angles, then it is a square.
6. Diagonal AC of a parallelogram ABCD bisects ∠ A (see Fig. 8.19). Show that (i) it bisects ∠ C also, (ii) ABCD is a rhombus.
7. ABCD is a rhombus. Show that diagonal AC bisects ∠ A as well as ∠ C and diagonal BD bisects ∠ B as well as ∠ D.
8. ABCD is a rectangle in which diagonal AC bisects ∠ A as well as ∠ C. Show
that: (i) ABCD is a square (ii) diagonal BD bisects ∠ B as well as ∠ D.
9. In parallelogram ABCD, two points P and Q are taken on diagonal BD such that DP = BQ (see Fig. 8.20). Show that: (i) ∆ APD ≅ ∆ CQB (ii) AP = CQ (iii) ∆ AQB ≅∆ CPD (iv) AQ = CP (v) APCQ is a parallelogram
10. ABCD is a parallelogram and AP and CQ are perpendiculars from vertices A and C on diagonal BD (see Fig. 8.21). Show that (i) ∆ APB ≅ ∆ CQD (ii) AP = CQ
11. In ∆ ABC and ∆ DEF, AB = DE, AB || DE, BC = EF and BC || EF. Vertices A, B and C are joined to vertices D, E and F respectively (see Fig. 8.22). Show that (i) quadrilateral ABED is a parallelogram (ii) quadrilateral BEFC is a parallelogram (iii) AD || CF and AD = CF (iv) quadrilateral ACFD is a parallelogram (v) AC = DF (vi) ∆ ABC ≅ ∆ DEF.
12. ABCD is a trapezium in which AB || CD and AD = BC (see Fig. 8.23). Show that (i) ∠ A = ∠ B (ii) ∠ C = ∠ D (iii) ∆ ABC ≅ ∆ BAD (iv) diagonal AC = diagonal BD [Hint : Extend AB and draw a line through C parallel to DA intersecting AB produced at E.]
1. चतुर्भुज के कोण 3:5:9:13 के अनुपात में हैं। चतुर्भुज के सभी कोण ज्ञात कीजिए।
2. यदि किसी समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो दर्शाइए कि वह एक आयत है।
3. दर्शाइए कि यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, तो वह समचतुर्भुज होता है।
4. दर्शाइए कि एक वर्ग के विकर्ण बराबर होते हैं और एक दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं।
5. दर्शाइए कि यदि किसी चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों और एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करें, तो वह एक वर्ग होता है।
6. एक समांतर चतुर्भुज ABCD का विकर्ण AC, ∠ A को समद्विभाजित करता है (देखिए आकृति 8.19)। दर्शाइए कि (i) यह C को भी समद्विभाजित करता है, (ii) ABCD एक समचतुर्भुज है।
7. ABCD एक समचतुर्भुज है। दर्शाइए कि विकर्ण AC, ∠A और C को समद्विभाजित करता है और विकर्ण BD, B और D को भी समद्विभाजित करता है।
8. ABCD एक आयत है जिसमें विकर्ण AC A और C को समद्विभाजित करता है। दर्शाइए कि: (i) ABCD एक वर्ग है (ii) विकर्ण BD, B और D को समद्विभाजित करता है।
9. समांतर चतुर्भुज ABCD में विकर्ण BD पर दो बिंदु P और Q इस प्रकार लिए गए हैं कि DP = BQ (देखिए आकृति 8.20)। दर्शाइए कि: (i) APD CQB (ii) AP = CQ (iii) AQB CPD (iv) AQ = CP (v) APCQ एक समांतर चतुर्भुज है
10. ABCD एक समांतर चतुर्भुज है और AP और CQ शीर्ष A और C से विकर्ण BD पर लंबवत हैं (देखिए आकृति 8.21)। दर्शाइए कि (i) APB CQD (ii) AP = CQ
11. ABC और DEF में, AB = DE, AB || डीई, बीसी = ईएफ और बीसी || ईएफ. शीर्ष A, B और C को क्रमशः शीर्ष D, E और F से जोड़ा गया है (देखिए आकृति 8.22)। दर्शाइए कि (i) चतुर्भुज ABED एक समांतर चतुर्भुज है (ii) चतुर्भुज BEFC एक समांतर चतुर्भुज है (iii) AD || CF और AD = CF (iv) चतुर्भुज ACFD एक समांतर चतुर्भुज है (v) AC = DF (vi) ABC DEF।
12. ABCD एक समलंब है जिसमें AB || CD और AD = BC (देखिए आकृति 8.23)। दर्शाइए कि (i) A = B (ii) C = D (iii) ABC BAD (iv) विकर्ण AC = विकर्ण BD [संकेत: AB को बढ़ाइए और AB को DA के समानांतर C से होकर जाने वाली एक रेखा खींचिए। ई. पर उत्पादित]
EXERCISE 8.2
1. ABCD is a quadrilateral in which P, Q, R and S are mid-points of the sides AB, BC, CD and DA (see Fig 8.29). AC is a diagonal. Show that : (i) SR || AC and SR = 1/2 AC (ii) PQ = SR (iii) PQRS is a parallelogram. 2. ABCD is a rhombus and P, Q, R and S are the mid-points of the sides AB, BC, CD and DA respectively. Show that the quadrilateral PQRS is a rectangle.
3. ABCD is a rectangle and P, Q, R and S are mid-points of the sides AB, BC, CD and DA respectively. Show that the quadrilateral PQRS is a rhombus.
4. ABCD is a trapezium in which AB || DC, BD is a diagonal and E is the mid-point of AD. A line is drawn through E parallel to AB intersecting BC at F (see Fig. 8.30) Show that F is the mid-point of BC.
5. In a parallelogram ABCD, E and F are the mid-points of sides AB and CD respectively (see Fig. 8.31). Show that the line segments AF and EC trisect the diagonal BD.
6. Show that the line segments joining the mid-points of the opposite sides of a quadrilateral bisect each other.
7. ABC is a triangle right angled at C. A line through the mid-point M of hypotenuse AB and parallel to BC intersects AC at D. Show that (i) D is the mid-point of AC (ii) MD ⊥AC (iii) CM = MA = 1/2 AB
1. ABCD एक चतुर्भुज है जिसमें P, Q, R और S भुजाओं
AB, BC, CD और DA के
मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति 8.29)। एसी एक विकर्ण
है। दर्शाइए कि : (i) एसआर || AC और SR = 1/2 AC
(ii) PQ = SR (iii) PQRS एक समांतर चतुर्भुज है। 2. ABCD एक
समचतुर्भुज है और P, Q, R और S क्रमशः
भुजाओं AB, BC, CD और DA के
मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक आयत है।
3. ABCD एक आयत है और P, Q, R और S क्रमशः
भुजाओं AB, BC, CD और DA के
मध्य-बिंदु हैं। दर्शाइए कि चतुर्भुज PQRS एक समचतुर्भुज
है।
4. ABCD एक समलंब है जिसमें AB || DC,
BD एक विकर्ण है और E, AD का मध्य-बिंदु
है। E से होकर AB के
समांतर एक रेखा खींची जाती है जो BC को F पर
प्रतिच्छेद करती है (देखिए आकृति 8.30) दर्शाइए कि F, BC का
मध्य-बिंदु है।
5. एक समांतर चतुर्भुज ABCD में, E और F क्रमशः
भुजाओं AB और CD के
मध्य-बिंदु हैं (देखिए आकृति 8.31)। दर्शाइए कि
रेखाखंड AF और EC विकर्ण
BD को समद्विभाजित करते हैं।
6. दर्शाइए कि एक चतुर्भुज की सम्मुख
भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।
7. ABC एक त्रिभुज है जो C पर
समकोण है। कर्ण AB के मध्य-बिंदु M से
होकर BC के समानांतर एक रेखा AC को D पर
काटती है। दर्शाइए कि (i) D, AC का मध्य-बिंदु है (ii) MD ⊥AC (iii) सीएम
= एमए = 1/2 एबी
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