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 NCERT MATHS CLASS 8 गणित कक्षा  8 

Chapter 13 Direct and Inverse Proportions

अध्याय 13  सीधा और प्रतिलोम समानुपात

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Chapter 13 Direct and Inverse Proportions सीधा और प्रतिलोम समानुपात

1. Two quantities x and y are said to be in direct proportion if they increase (decrease) together in such a manner that the ratio of their corresponding values remains constant. That is if x/y = k [k is a positive number], then x and y are said to vary directly. In such a case if y1 , y2 are the values of y corresponding to the values x1 , x2 of x respectively then x1/ y1 = x2/ y2   2. Two quantities x and y are said to be in inverse proportion if an increase in x causes a proportional decrease in y (and vice-versa) in such a manner that the product of their corresponding values remains constant. That is, if xy = k, then x and y are said to vary inversely. In this case if y1 , y2 are the values of y corresponding to the values x1 , x2 of x respectively then x1, y1 = x2, y2 or x1/ y2 = y2/ y1

1. दो राशियाँ x और y प्रत्यक्ष अनुपात में कहलाती हैं यदि वे एक साथ इस प्रकार बढ़ती (घटती) हैं कि उनके संगत मानों का अनुपात स्थिर रहता है। अर्थात् यदि x/y = k [k एक धनात्मक संख्या है], तो x और y सीधे भिन्न कहलाते हैं। ऐसी स्थिति में यदि y1 , y2 क्रमशः x के मानों x1, x2 के संगत y के मान हैं तो x1/ y1 = x2/ y2   2. दो राशियाँ x और y व्युत्क्रमानुपात में कहलाती हैं यदि x में वृद्धि से y (और इसके विपरीत) में आनुपातिक कमी इस प्रकार होती है कि उनके संगत मानों का गुणनफल स्थिर रहता है। अर्थात्, यदि xy = k, तो x और y व्युत्क्रमानुपाती कहलाते हैं। इस स्थिति में यदि y1 , y2 क्रमशः x के मानों x1, x2 के संगत y के मान हैं तो x1, y1 = x2, y2 या x1/ y2 = y2/ y1

 

EXERCISE 13.1 Direct Proportion प्रत्यक्ष समानुपात

1. Following are the car parking charges near a railway station upto 4 hours ₹ 60 8 hours ₹  100 12 hours ₹ 140 24 hours ₹ 180 Check if the parking charges are in direct proportion to the parking time.   2. A mixture of paint is prepared by mixing 1 part of red pigments with 8 parts of base. In the following table, find the parts of base that need to be added. Parts of red pigment 1,  4,  7,  12,  20 Parts of base 8,  ...,  ...,  ...,  ...   3. In Question 2 above, if 1 part of a red pigment requires 75 mL of base, how much red pigment should we mix with 1800 mL of base?   4. A machine in a soft drink factory fills 840 bottles in six hours. How many bottles will it fill in five hours?   5. A photograph of a bacteria enlarged 50,000 times attains a length of 5 cm as shown in the diagram. What is the actual length of the bacteria? If the photograph is enlarged 20,000 times only, what would be its enlarged length?   6. In a model of a ship, the mast is 9 cm high, while the mast of the actual ship is 12 m high. If the length of the ship is 28 m, how long is the model ship?   7. Suppose 2 kg of sugar contains 9 × 106 crystals. How many sugar crystals are there in (i) 5 kg of sugar? (ii) 1.2 kg of sugar?   8. Rashmi has a road map with a scale of 1 cm representing 18 km. She drives on a road for 72 km. What would be her distance covered in the map?   9. A 5 m 60 cm high vertical pole casts a shadow 3 m 20 cm long. Find at the same time (i) the length of the shadow cast by another pole 10 m 50 cm high (ii) the height of a pole which casts a shadow 5m long.   10. A loaded truck travels 14 km in 25 minutes. If the speed remains the same, how far can it travel in 5 hours?

1. रेलवे स्टेशन के पास कार पार्किंग शुल्क निम्नलिखित हैं: 4 घंटे ₹ 60 8 घंटे ₹100 १२ घंटे ₹140 24 घंटे ₹180 जांचें कि क्या पार्किंग शुल्क पार्किंग समय के सीधे अनुपात में हैं।   2. आधार के 8 भागों के साथ 1 भाग लाल रंगद्रव्य को मिलाकर पेंट का मिश्रण तैयार किया जाता है। निम्नलिखित तालिका में, आधार के उन हिस्सों को खोजें जिन्हें जोड़ने की आवश्यकता है। लाल रंगद्रव्य के भाग 1, 4, 7, 12, 20 आधार 8, ..., ..., ..., ... के भाग   3. उपरोक्त प्रश्न 2 में, यदि लाल रंगद्रव्य के 1 भाग के लिए 75 mL आधार की आवश्यकता होती है, तो हमें 1800 mL आधार के साथ कितना लाल वर्णक मिलाना चाहिए?   4. एक शीतल पेय कारखाने में एक मशीन छह घंटे में 840 बोतलें भरती है। पाँच घंटे में वह कितनी बोतलें भरेगी?   5. एक जीवाणु का 50,000 गुना बड़ा फोटोग्राफ 5 सेमी लंबा हो जाता है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। बैक्टीरिया की वास्तविक लंबाई क्या है? यदि फोटोग्राफ को केवल 20,000 गुना बड़ा किया जाता है, तो इसकी बढ़ी हुई लंबाई क्या होगी?   6. एक जहाज के मॉडल में मस्तूल 9 सेमी ऊंचा होता है, जबकि वास्तविक जहाज का मस्तूल 12 मीटर ऊंचा होता है। यदि जहाज की लंबाई 28 मीटर है, तो जहाज का मॉडल कितना लंबा है?   7. मान लीजिए कि 2 किलो चीनी में 9 × 106 क्रिस्टल हैं। चीनी के कितने क्रिस्टल होते हैं (i) 5 किलो चीनी? (ii) 1.2 किलो चीनी?   8. रश्मि के पास 1 सेमी के पैमाने के साथ एक रोड मैप है जो 18 किमी का प्रतिनिधित्व करता है। वह 72 किमी सड़क पर ड्राइव करती है। मानचित्र में उसकी दूरी कितनी होगी?   9. 5 मीटर 60 सेंटीमीटर ऊंचे ऊर्ध्वाधर खंभे की छाया 3 मीटर 20 सेंटीमीटर लंबी होती है। एक ही समय में खोजें (i) 10 मीटर 50 सेमी ऊंचे एक अन्य खंभे द्वारा डाली गई छाया की लंबाई (ii) एक खम्भे की ऊँचाई जिसकी छाया 5 मीटर लंबी होती है।   10. एक भरा हुआ ट्रक 25 मिनट में 14 किमी की यात्रा करता है। यदि चाल वही रहे, तो वह 5 घंटे में कितनी दूरी तय कर सकती है?

 

EXERCISE 13.2  Inverse Proportion प्रतिलोम अनुपात

 

1. Which of the following are in inverse proportion? (i) The number of workers on a job and the time to complete the job. (ii) The time taken for a journey and the distance travelled in a uniform speed. (iii) Area of cultivated land and the crop harvested. (iv) The time taken for a fixed journey and the speed of the vehicle. (v) The population of a country and the area of land per person.   2. In a Television game show, the prize money of ₹ 1,00,000 is to be divided equally amongst the winners. Complete the following table and find whether the prize money given to an individual winner is directly or inversely proportional to the number of winners? Number of winners 1,  2,  4,  5,  8,  10,  20 Prize for each winner (in ₹) 1,00,000, 50,000,  ...,  ...,  ...,  ...,  ...   3. Rehman is making a wheel using spokes. He wants to fix equal spokes in such a way that the angles between any pair of consecutive spokes are equal. Help him by completing the following table. Number of spokes 4 6 8 10 12 Angle between a pair of consecutive 90° 60° ... ... ... spokes (i) Are the number of spokes and the angles formed between the pairs of consecutive spokes in inverse proportion? (ii) Calculate the angle between a pair of consecutive spokes on a wheel with 15 spokes. (iii) How many spokes would be needed, if the angle between a pair of consecutive spokes is 40°?   4. If a box of sweets is divided among 24 children, they will get 5 sweets each. How many would each get, if the number of the children is reduced by 4?   5. A farmer has enough food to feed 20 animals in his cattle for 6 days. How long would the food last if there were 10 more animals in his cattle?   6. A contractor estimates that 3 persons could rewire Jasminder’s house in 4 days. If, he uses 4 persons instead of three, how long should they take to complete the job?   7. A batch of bottles were packed in 25 boxes with 12 bottles in each box. If the same batch is packed using 20 bottles in each box, how many boxes would be filled?   8. A factory requires 42 machines to produce a given number of articles in 63 days. How many machines would be required to produce the same number of articles in 54 days?   9. A car takes 2 hours to reach a destination by travelling at the speed of 60 km/h. How long will it take when the car travels at the speed of 80 km/h?   10. Two persons could fit new windows in a house in 3 days. (i) One of the persons fell ill before the work started. How long would the job take now? (ii) How many persons would be needed to fit the windows in one day?   11. A school has 8 periods a day each of 45 minutes duration. How long would each period be, if the school has 9 periods a day, assuming the number of school hours to be the same?

1. निम्नलिखित में से कौन प्रतिलोम अनुपात में हैं? (i) एक काम पर काम करने वालों की संख्या और काम पूरा करने का समय। (ii) एक यात्रा के लिए लिया गया समय और एक समान गति से तय की गई दूरी। (iii) खेती योग्य भूमि का क्षेत्रफल और काटी गई फसल। (iv) एक निश्चित यात्रा में लगने वाला समय और वाहन की गति। (v) किसी देश की जनसंख्या और प्रति व्यक्ति भूमि का क्षेत्रफल।   2. एक टेलीविज़न गेम शो में, ₹ 1,00,000 की पुरस्कार राशि को विजेताओं के बीच समान रूप से विभाजित किया जाना है। निम्नलिखित तालिका को पूरा कीजिए और ज्ञात कीजिए कि क्या किसी एक विजेता को दी गई पुरस्कार राशि विजेताओं की संख्या के सीधे या व्युत्क्रमानुपाती है? विजेताओं की संख्या 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 प्रत्येक विजेता के लिए पुरस्कार (₹ में) 1,00,000, 50,000, ..., ..., ..., ..., ...   3. रहमान तीलियों से पहिया बना रहा है। वह समान तीलियों को इस प्रकार लगाना चाहता है कि क्रमागत तीलियों के किसी भी युग्म के बीच का कोण बराबर हो। निम्नलिखित तालिका को पूरा करके उसकी सहायता करें। तीलियों की संख्या 4 6 8 10 12 क्रमागत 90° 60° के युग्म के बीच का कोण ... ... ... प्रवक्ता (i) क्या तीलियों की संख्या और क्रमागत तीलियों के युग्मों के बीच बनने वाले कोण प्रतिलोम अनुपात में हैं? (ii) 15 तीलियों वाले पहिए पर क्रमागत तीलियों के एक जोड़े के बीच के कोण की गणना कीजिए। (iii) यदि क्रमागत तीलियों के एक जोड़े के बीच का कोण 40° है, तो कितनी तीलियों की आवश्यकता होगी?   4. अगर 24 बच्चों के बीच मिठाई का एक बॉक्स बांटा जाता है, तो उन्हें 5 मिठाइयाँ मिलेंगी। यदि बच्चों की संख्या 4 कम कर दी जाए तो प्रत्येक को कितने प्राप्त होंगे?   5. एक किसान के पास अपने मवेशियों में 20 पशुओं को 6 दिनों तक खिलाने के लिए पर्याप्त भोजन है। यदि उसके मवेशियों में 10 और जानवर हों तो भोजन कितने समय तक चलेगा?   6. एक ठेकेदार का अनुमान है कि 4 दिनों में 3 व्यक्ति जसमिंदर के घर को फिर से तार-तार कर सकते हैं। यदि, वह तीन के बजाय 4 व्यक्तियों का उपयोग करता है, तो उन्हें कार्य पूरा करने में कितना समय लगेगा?   7. बोतलों के एक बैच को 25 बक्सों में पैक किया गया था जिसमें प्रत्येक बॉक्स में 12 बोतलें थीं। यदि उसी बैच को प्रत्येक बॉक्स में 20 बोतलों का उपयोग करके पैक किया जाता है, तो कितने बॉक्स भरे जाएंगे?   8. एक कारखाने को 63 दिनों में एक निश्चित संख्या में वस्तुओं का उत्पादन करने के लिए 42 मशीनों की आवश्यकता होती है। 54 दिनों में समान वस्तुओं का उत्पादन करने के लिए कितनी मशीनों की आवश्यकता होगी?   9. एक कार 60 किमी/घण्टा की चाल से एक गंतव्य तक पहुँचने में 2 घंटे का समय लेती है। जब कार 80 किमी/घंटा की गति से यात्रा करेगी तो उसे कितना समय लगेगा?   10. दो व्यक्ति 3 दिनों में एक घर में नई खिड़कियां लगा सकते हैं। (i) काम शुरू होने से पहले एक व्यक्ति बीमार पड़ गया। अब काम में कितना समय लगेगा? (ii) खिड़कियों को एक दिन में फिट करने के लिए कितने व्यक्तियों की आवश्यकता होगी?   11. एक स्कूल में 45 मिनट की अवधि के प्रत्येक दिन में 8 पीरियड होते हैं। यदि स्कूल के घंटों की संख्या को समान मानकर स्कूल में एक दिन में 9 पीरियड हों, तो प्रत्येक अवधि कितनी लंबी होगी?