NCERT MATHS CLASS 8 गणित कक्षा 8
Chapter 9 Algebraic Expressions and Identities
अध्याय 9 बीजीय व्यंजक और सर्वसमिकाएँ
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Chapter 9 Algebraic Expressions and
Identities बीजीय व्यंजक और सर्वसमिकाएँ
Addition and Subtraction of Algebraic
Expressions बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव
|
1.
Expressions are formed from variables and constants. 2.
Terms are added to form expressions. Terms themselves are formed as product
of factors. 3.
Expressions that contain exactly one, two and three terms are called
monomials, binomials and trinomials respectively. In general, any expression
containing one or more terms with non-zero coefficients (and with variables
having non- negative integers as exponents) is called a polynomial. 4.
Like terms are formed from the same variables and the powers of these
variables are the same, too. Coefficients of like terms need not be the same.
5.
While adding (or subtracting) polynomials, first look for like terms and add
(or subtract) them; then handle the unlike terms. 6.
There are number of situations in which we need to multiply algebraic
expressions: for example, in finding area of a rectangle, the sides of which
are given as expressions. 7.
A monomial multiplied by a monomial always gives a monomial. 8.
While multiplying a polynomial by a monomial, we multiply every term in the
polynomial by the monomial. 9.
In carrying out the multiplication of a polynomial by a binomial (or
trinomial), we multiply term by term, i.e., every term of the polynomial is
multiplied by every term in the binomial (or trinomial). Note that in such
multiplication, we may get terms in the product which are like and have to be
combined. 10.
An identity is an equality, which is true for all values of the variables in
the equality. On the other hand, an equation is true only for certain values
of its variables. An equation is not an identity. 11.
The following are the standard identities: (a
+ b)² = a² + 2ab + b²(I) (a
– b)² = a² – 2ab + b²(II) (a
+ b) (a – b) = a² – b² (III)
12.
Another useful identity is (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab (IV) 13.
The above four identities are useful in carrying out squares and products of
algebraic expressions. They also allow easy alternative methods to calculate
products of numbers and so on. |
1.
व्यंजक चरों और अचरों से बनते हैं। 2.
अभिव्यक्ति बनाने के लिए शब्द जोड़े जाते हैं। शब्द स्वयं कारकों के उत्पाद के रूप में बनते हैं। 3.
वे व्यंजक जिनमें ठीक एक, दो और तीन पद होते हैं, क्रमशः एकपदी, द्विपद और त्रिपद कहलाते हैं। सामान्य तौर पर, गैर-शून्य गुणांक वाले एक या अधिक पदों वाले किसी भी व्यंजक (और चर के साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों को घातांक के रूप में) बहुपद कहा जाता है। 4.
समान पदों का निर्माण समान चरों से होता है और इन चरों की घातें भी समान होती हैं। समान पदों के गुणांकों का समान होना आवश्यक नहीं है। 5.
बहुपदों को जोड़ते (या घटाना) करते समय, पहले समान पदों की तलाश करें और उन्हें जोड़ें (या घटाएं); फिर विपरीत शब्दों को संभालें। 6.
ऐसी कई स्थितियाँ हैं जिनमें हमें बीजीय व्यंजकों को गुणा करने की आवश्यकता होती है: उदाहरण के लिए, एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने में, जिसकी भुजाएँ व्यंजकों के रूप में दी गई हैं। 7.
एकपदी को एकपदी से गुणा करने पर हमेशा एकपदी मिलती है। 8.
एक बहुपद को एकपदी से गुणा करते समय, हम बहुपद के प्रत्येक पद को एकपदी से गुणा करते हैं। 9.
एक बहुपद को एक द्विपद (या त्रिपद) से गुणा करने पर, हम पद से पद को गुणा करते हैं, अर्थात, बहुपद के प्रत्येक पद को द्विपद (या त्रिपद) के प्रत्येक पद से गुणा किया जाता है। ध्यान दें कि इस तरह के गुणन में, हमें उत्पाद में ऐसे पद मिल सकते हैं जो समान हैं और जिन्हें जोड़ना है। 10.
एक सर्वसमिका एक समानता है, जो समानता में चरों के सभी मानों के लिए सत्य है। दूसरी ओर, एक समीकरण केवल उसके चरों के कुछ निश्चित मानों के लिए ही सत्य होता है। एक समीकरण एक पहचान नहीं है। 11.
मानक पहचान निम्नलिखित हैं: ((a
+ b)² = a² + 2ab + b²(I) (a
– b)² = a² – 2ab + b²(II) (a
+ b) (a – b) = a² – b² (III) 12.
एक अन्य उपयोगी पहचान है (x + a) (x + b)
= x² + (a + b) x + ab (IV) 13.
उपरोक्त चार सर्वसमिकाएँ बीजीय व्यंजकों के वर्ग और गुणनफल निकालने में उपयोगी हैं। वे संख्याओं आदि के उत्पादों की गणना करने के लिए आसान वैकल्पिक तरीकों की भी अनुमति देते हैं। |
EXERCISE 9.1 Addition and Subtraction of
Algebraic Expressions बीजीय व्यंजकों का जोड़ और घटाव
|
1.
Identify the terms, their coefficients for each of the following expressions.
(i)
5xyz² – 3zy (ii)
1 + x + x² (iii)
4x² z² – 4x² y² z² + z² (iv)
3 – pq + qr – rp (v)
x/2+y/2 − xy (vi)
0.3a – 0.6ab + 0.5b 2.
Classify the following polynomials as monomials, binomials, trinomials. Which
polynomials do not fit in any of these three categories? x
+ y, 1000,
x
+ x² + x³ + x4 , 7
+ y + 5x, 2y – 3y² , 2y
– 3y² + 4y3 , 5x
– 4y + 3xy, 4z
– 15z² , ab
+ bc + cd + da, pqr,
p²
2q + pq² , 2p
+ 2q
3.
Add the following. (i)
ab – bc, bc – ca, ca – ab (ii)
a – b + ab, b – c + bc, c – a + ac (iii)
2p²q² – 3pq + 4, 5 + 7pq – 3p²q² (iv)
l 2 + m2 , m2 + n 2 , n 2 + l 2 , 2lm + 2mn + 2nl
4.
(a) Subtract 4a – 7ab + 3b + 12 from 12a – 9ab + 5b – 3 (b)
Subtract 3xy + 5yz – 7zx from 5xy – 2yz – 2zx + 10xyz (c)
Subtract 4p²q – 3pq + 5pq2 – 8p + 7q – 10 from 18 – 3p – 11q + 5pq – 2pq2 + 5p²q |
1.
निम्नलिखित व्यंजकों में से प्रत्येक के लिए पदों, उनके गुणांकों को पहचानिए। (i)
5xyz² - 3zy (ii)
1 + x + x² (iii)
4x² z² - 4x² y² z² + z² (iv)
3 - पीक्यू + क्यूआर - आरपी (v)
x/2+y/2 - xy (vi)
0.3a - 0.6ab + 0.5b 2.
निम्नलिखित बहुपदों को एकपदी, द्विपद, त्रिपद के रूप में वर्गीकृत कीजिए। कौन से बहुपद इन तीन श्रेणियों में से किसी में फिट नहीं होते हैं? एक्स + वाई, 1000, एक्स + एक्स² + एक्स³ + एक्स ४ , 7
+ y + 5x, 2y - 3y² , 2y
- 3y² + 4y3 , 5x
- 4y + 3xy, 4z
- 15z², एबी + बीसी + सीडी + दा, पीक्यूआर, पी² 2q + पीक्यू² , 2p
+ 2q
3.
निम्नलिखित जोड़ें। (i)
ab - bc, bc - ca, ca - ab (ii)
ए - बी + एबी, बी - सी + बीसी, सी - ए + एसी (iii)
2p²q² - 3pq + 4, 5 + 7pq - 3p²q² (iv)
एल 2 + एम 2, एम 2 + एन 2, एन 2 + एल 2, 2 एलएम + 2 एमएन + 2 एनएल
4.
(a) 12a - 9ab + 5b - 3 . में से 4a - 7ab + 3b
+ 12 घटाएं (बी) 5xy - 2yz -
2zx + 10xyz से 3xy + 5yz -
7zx घटाएं (सी) 4p²q – 3pq +
5pq2 – 8p + 7q – 10 को 18 – 3p – 11q + 5pq – 2pq2 + 5p²q से घटाएं |
EXERCISE 9.2
Multiplication of Algebraic Expressions बीजीय व्यंजकों का गुणन
|
1.
Find the product of the following pairs of monomials. (i)
4, 7p (ii)
– 4p, 7p (iii)
– 4p, 7pq (iv)
4p 3 , – 3p (v)
4p, 0 2.
Find the areas of rectangles with the following pairs of monomials as their
lengths and breadths respectively. (p, q); (10m,
5n); (20x²
, 5y² ); (4x,
3x² ); (3mn,
4np) 3.
Complete the table of products. 4.
Obtain the volume of rectangular boxes with the following length, breadth and
height respectively. (i)
5a, 3a² , 7a4 (ii)
2p, 4q, 8r (iii)
xy, 2x² y, 2xy² (iv)
a, 2b, 3c 5.
Obtain the product of (i)
xy, yz, zx (ii)
a, – a² , a³ (iii)
2, 4y, 8y² , 16y³ (iv)
a, 2b, 3c, 6abc (v)
m, – mn, mnp
|
1.
निम्नलिखित एकपदी युग्मों का गुणनफल ज्ञात कीजिए। (i)
४, ७पी (ii)
- ४पी, ७पी (iii)
- ४पी, ७पीक्यू (iv)
४पी ३ , - ३पी (v)
४पी, ० 2.
एकपदी के निम्नलिखित युग्मों की क्रमशः लंबाई और चौड़ाई वाले आयतों के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (पी क्यू); (10 मीटर,
5 एन);4 76 (20x²,
5y²); (4x,
3x²); (3mn,
4np) 3.
उत्पादों की तालिका को पूरा करें। 4.
निम्नलिखित लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई वाले आयताकार बक्सों का आयतन ज्ञात कीजिए। (i)
5a, 3a², 7a4 (ii)
2p, 4q, 8r (iii)
xy, 2x² y, 2xy² (iv)
ए, 2बी, 3सी 5.
का गुणनफल प्राप्त कीजिए (i)
xy, yz, zx (ii)
ए, - ए², ए³ (iii)
2, 4y, 8y², 16y³ (iv)
ए, 2बी, 3सी, 6एबीसी (v)
एम, - एमएन, एमएनपी |
EXERCISE 9.3
Multiplying a Monomial by a Polynomial एक एकपदी को एक बहुपद से गुणा करना
|
1.
Carry out the multiplication of the expressions in each of the following
pairs. (i)
4p, q + r (ii)
ab, a – b (iii)
a + b, 7a²b² (iv)
a² – 9, 4a (v)
pq + qr + rp, 0 2.
Complete the table. 3.
Find the product. i)
a2 x (2a22) x (4a26) ii)
(2/3 xy) ×(-9/10 x²y² ) (iii)
(-10/3 pq3 /) × (6/5 p3q) (iv)
( x) × (x² ) × (x3 ) × (x4 ) 4.
(a) Simplify 3x (4x – 5) + 3 and find its values for (i) x = 3 (ii) x =1/2
(b) Simplify a (a2+ a + 1) + 5 and find its value for (i) a = 0,
(ii) a = 1 (iii) a = – 1. 5.
(a) Add: p ( p – q), q ( q – r) and r ( r – p) (b)
Add: 2x (z – x – y) and 2y (z – y – x) (c)
Subtract: 3l (l – 4 m + 5 n) from 4l ( 10 n – 3 m + 2 l )
(d)
Subtract: 3a (a + b + c ) – 2 b (a – b + c) from 4c ( – a + b + c ) |
1.
निम्नलिखित युग्मों में से प्रत्येक में व्यंजकों का गुणन कीजिए। (i)
4p, q + r (ii)
एबी, ए - बी (iii)
ए + बी, 7a²b² (iv)
ए² - 9, 4 ए (वी) पीक्यू + क्यूआर + आरपी, 0 2.
तालिका को पूरा करें। 3.
गुणनखंड ज्ञात कीजिये i)
a2 x (2a22) x (4a26) ii)
(2/3 xy) ×(-9/10 x²y²) (iii)
(-10/3 pq3 /) × (6/5 p 3q) (iv)
(x) × (x²) × (x3) × (x4) 4.
(ए) 3x (4x - 5) +
3 को सरल बनाएं और (i) x = 3 (ii)
x = 1/2 (बी) ए (ए 2 + ए + 1) + 5 को सरल बनाएं और इसका मान पाएं (i) a = 0, (ii)
a = 1 (iii) a = - 1 के लिए 5.
(ए) जोड़ें: पी (पी - क्यू), क्यू (क्यू - आर) और आर (आर - पी) (बी) जोड़ें: 2x (z - x - y)
और 2y (z - y - x) (सी) घटाएं: 3l (एल - 4 एम + 5 एन) 4 एल (10 एन - 3 मीटर + 2 एल) से (डी) घटाएं: 3 ए (ए + बी + सी) - 2 बी (ए - बी + सी) 4 सी (- ए + बी + सी) से |
EXERCISE 9.4
Multiplying a Polynomial by a Polynomial
एक बहुपद को एक बहुपद से गुणा करना
|
1.
Multiply the binomials. (i)
(2x + 5) and (4x – 3) (ii)
(y – 8) and (3y – 4) (iii)
(2.5l – 0.5m) and (2.5l + 0.5m) (iv)
(a + 3b) and (x + 5) (v)
(2pq + 3q² ) and (3pq – 2q² ) (vi)
(3/4 a2 + 3b2 ) and 4( a2 - 2/3 b2
)
2.
Find the product. (i)
(5 – 2x) (3 + x) (ii)
(x + 7y) (7x – y) (iii)
(a² + b) (a + b²) (iv)
(p² – q² ) (2p + q)
3.
Simplify. (i)
(x² – 5) (x + 5) + 25 (ii)
(a² + 5) (b 3 + 3) + 5 (iii)
(t + s2 ) (t2 – s) (iv)
(a + b) (c – d) + (a – b) (c + d) + 2 (ac + bd) (v)
(x + y)(2x + y) + (x + 2y)(x – y) (vi)
(x + y)(x² – xy + y² ) (vii)
(1.5x – 4y)(1.5x + 4y + 3) – 4.5x + 12y (viii)
(a + b + c)(a + b – c) |
1.
द्विपदों को गुणा करें। (i)
(2x + 5) और (4x - 3) (ii)
(y - 8) और (3y - 4) (iii)
(2.5l - 0.5m) और (2.5l + 0.5m) (iv)
(ए + 3 बी) और (एक्स + 5) (v)
(2pq + 3q²) और (3pq - 2q²) (vi)
(3/4 a2 + 3b2) और 4(a2 - 2/3 b2)
2.
गुणनखंड ज्ञात कीजिये (i)
(5 - 2x) (3 + x) (ii)
(x + 7y) (7x - y) (iii)
(ए² + बी) (ए + बी²) (iv)
(p² - q²) (2p + q)
3.
सरल करें। (i)
(x² - ५) (x + ५) + २५ (ii)
(ए² + 5) (बी 3 + 3) + 5 (iii)
(टी + एस 2) (टी 2 - एस) (iv)
(ए + बी) (सी - डी) + (ए - बी) (सी + डी) + 2 (एसी + बीडी) (v)
(x + y) (2x + y) + (x + 2y) (x - y) (vi)
(x + y) (x² - xy + y²) (vii)
(1.5x - 4y) (1.5x + 4y + 3) - 4.5x + 12y (viii)
(ए + बी + सी) (ए + बी - सी) |
EXERCISE 9.5
Applying Identities सर्वसमिकाओं का उपयोग
|
1.
Use a suitable identity to get each of the following products. (i)
(x + 3) (x + 3) (ii)
(2y + 5) (2y + 5) (iii)
(2a – 7) (2a – 7) (iv)
(3a – 1 2 ) (3a – 1 2 ) (v)
(1.1m – 0.4) (1.1m + 0.4) (vi)
(a² + b²) (– a² + b²) (vii)
(6x – 7) (6x + 7) (viii)
(– a + c) (– a + c) (ix) (x)
(7a – 9b) (7a – 9b)
2.
Use the identity (x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab to find the following
products. (i)
(x + 3) (x + 7) (ii)
(4x + 5) (4x + 1) (iii)
(4x – 5) (4x – 1) (iv)
(4x + 5) (4x – 1) (v)
(2x + 5y) (2x + 3y) (vi)
(2a² + 9) (2a² + 5) (vii)
(xyz – 4) (xyz – 2)
3.
Find the following squares by using the identities. (i)
(b – 7)² (ii)
(xy + 3z)² (iii)
(6x² – 5y)² (iv)
(v)
(0.4p – 0.5q)² (vi)
(2xy + 5y)²
4.
Simplify. (i)
(a² – b²)² (ii)
(2x + 5)² – (2x – 5)² (iii)
(7m – 8n)² + (7m + 8n)² (iv)
(4m + 5n)² + (5m + 4n)² (v)
(2.5p – 1.5q)² – (1.5p – 2.5q)² (vi)
(ab + bc)² – 2ab2 c (vii)
(m2 – n2m)² + 2m3n2
5.
Show that. (i)
(3x + 7)² – 84x = (3x – 7)² (ii)
(9p – 5q)² + 180pq = (9p + 5q)² (iii)
(iv)
(4pq + 3q)² – (4pq – 3q)² = 48pq2 (v)
(a – b) (a + b) + (b – c) (b + c) + (c – a) (c + a) = 0
6.
Using identities, evaluate. (i)
712 (ii)
992 (iii)
1022 (iv)
9982 (v)
5.22 (vi)
297 × 303 (vii)
78 × 82 (viii)
8.92 (ix)
10.5 × 9.5
7.
Using a2 – b2 = (a + b) (a – b), find (i)
512 – 492 (ii)
(1.02)2 – (0.98)2 (iii)
1532 – 1472 (iv)
12.12 – 7.92
8.
Using (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab, find (i)
103 × 104 (ii)
5.1 × 5.2 (iii)
103 × 98 (iv)
9.7 × 9.8 |
1.
निम्नलिखित में से प्रत्येक गुणनफल प्राप्त करने के लिए उपयुक्त सर्वसमिका का प्रयोग करें। (i)
(एक्स + 3) (एक्स + 3) (ii)
(2y + 5) (2y + 5) (iii)
(2ए - 7) (2 ए - 7) (iv)
(3a - 1 2 ) (3a - 1 2 ) (v)
(1.1m - 0.4) (1.1m + 0.4) (vi)
(a² + b²) (- a² + b²) (vii)
(6x - 7) (6x + 7) (viii)
(- a + c) (- a + c) (ix) (एक्स) (7 ए - 9 बी) (7 ए - 9 बी)
2.
निम्नलिखित गुणनफल को खोजने के लिए पहचान (x + a) (x + b)
= x² + (a + b) x + ab का उपयोग करें। (i)
(एक्स + 3) (एक्स + 7) (ii)
(4x + 5) (4x + 1) (iii)
(4x - 5) (4x - 1) (iv)
(4x + 5) (4x - 1) (v)
(2x + 5y) (2x + 3y) (vi)
(2a² + 9) (2a² + 5) (vii)
(xyz - 4) (xyz - 2)
3.
सर्वसमिकाओं का उपयोग करके निम्नलिखित वर्ग ज्ञात कीजिए। (i)
(बी - 7)² (ii)
(xy + 3z)² (iii)
(6x² - 5y)² (iv) (v)
(0.4p - 0.5q)² (vi)
(2xy + 5y)²
4.
सरल करें। (i)
(ए² - बी²)² (ii)
(2x + 5)² - (2x - 5)² (iii)
(7m - 8n)² + (7m + 8n)² (iv)
(4m + 5n)² + (5m + 4n)² (v)
(2.5p - 1.5q)² - (1.5p - 2.5q)² (vi)
(ab + bc)² – 2ab2 c (vii)
(m2 - n2m)² + 2m3n2
5.
दर्शाइए कि (i)
(3x + 7)² - 84x = (3x - 7)² (ii)
(9p - 5q)² + 180pq = (9p + 5q)² (iii) (iv)
(4pq + 3q)² - (4pq - 3q)² = 48pq2 (वी) (ए - बी) (ए + बी) + (बी - सी) (बी + सी) + (सी - ए) (सी + ए) = 0 6॰ सर्वसमिका के उपयोग से निम्नलिखित मान ज्ञात कीजिये (i)
712 (ii)
992 (iii)
1022 (iv)
9982 (v)
5.22 (vi)
297 × 303 (vii)
78 × 82 (viii)
8.92 (ix)
10.5 × 9.5 7.
a2
– b2 = (a + b) (a – b) का उपयोग करते हुए निम्नलिखित मान ज्ञात कीजिये (i)
512 – 492 (ii)
(1.02)2 – (0.98)2 (iii)
1532 – 1472 (iv)
12.12 – 7.92 8. (x + a) (x + b) = x2 + (a + b) x + ab का उपयोग करते हुए निम्नलिखित मान ज्ञात कीजिये
|
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