NCERT MATHS CLASS 8 गणित कक्षा 8
Chapter 14 Factorisation
अध्याय 14 गुणनखंड
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Chapter 14
Factorisation गुणनखंड
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1.
When we factorise an expression, we write it as a product of factors. These
factors may be numbers, algebraic variables or algebraic expressions.
2.
An irreducible factor is a factor which cannot be expressed further as a
product of factors.
3.
A systematic way of factorising an expression is the common factor method. It
consists of three steps: (i) Write each term of the expression as a product
of irreducible factors (ii) Look for and separate the common factors and
(iii) Combine the remaining factors in each term in accordance with the
distributive law.
4.
Sometimes, all the terms in a given expression do not have a common factor;
but the terms can be grouped in such a way that all the terms in each group
have a common factor. When we do this, there emerges a common factor across
all the groups leading to the required factorisation of the expression. This
is the method of regrouping.
5.
In factorisation by regrouping, we should remember that any regrouping (i.e.,
rearrangement) of the terms in the given expression may not lead to
factorisation. We must observe the expression and come out with the desired
regrouping by trial and error.
6.
A number of expressions to be factorised are of the form or can be put into
the form : a2 + 2 ab + b2
, a2 – 2ab + b2,
a2 – b2 and x2 + (a + b) + ab. These expressions can be
easily factorised using Identities I, II, III and IV, given in Chapter 9, a
² + 2 ab + b ² = (a + b) ², a ² – 2ab + b ² = (a – b) ² a
² – b ² = (a + b) (a – b) x2
+ (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)
7.
In expressions which have factors of the type (x + a) (x + b), remember the
numerical term gives ab. Its factors, a and b, should be so chosen that their
sum, with signs taken care of, is the coefficient of x.
8.
We know that in the case of numbers, division is the inverse of
multiplication. This idea is applicable also to the division of algebraic
expressions.
9.
In the case of division of a polynomial by a monomial, we may carry out the
division either by dividing each term of the polynomial by the monomial or by
the common factor method.
10.
In the case of division of a polynomial by a polynomial, we cannot proceed by
dividing each term in the dividend polynomial by the divisor polynomial.
Instead, we factorise both the polynomials and cancel their common factors.
11.
In the case of divisions of algebraic expressions that we studied in this
chapter, we have Dividend = Divisor × Quotient. In
general, however, the relation is Dividend = Divisor × Quotient + Remainder Thus,
we have considered in the present chapter only those divisions in which the
remainder is zero.
12.
There are many errors students commonly make when solving algebra exercises.
You should avoid making such errors. |
1. जब हम किसी व्यंजक का गुणनखंड करते हैं, तो हम उसे गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखते हैं। ये कारक संख्याएँ, बीजीय चर या बीजीय व्यंजक हो सकते हैं।
2. एक अपरिवर्तनीय कारक एक ऐसा कारक है जिसे कारकों के उत्पाद के रूप में आगे व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
3. किसी व्यंजक को गुणनखंड करने का एक व्यवस्थित तरीका सामान्य गुणनखंड विधि है। इसमें तीन चरण होते हैं: (i) अभिव्यक्ति के प्रत्येक पद को इरेड्यूसेबल कारकों के उत्पाद के रूप में लिखें (ii) सामान्य कारकों को देखें और अलग करें और (iii) वितरण कानून के अनुसार प्रत्येक पद में शेष कारकों को मिलाएं।
4. कभी-कभी, दिए गए व्यंजक के सभी पदों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होता है; लेकिन पदों को इस प्रकार समूहीकृत किया जा सकता है कि प्रत्येक समूह के सभी पदों का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो। जब हम ऐसा करते हैं, तो सभी समूहों में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड उभरता है जिससे व्यंजक का आवश्यक गुणनखंडन होता है। यह पुनर्समूहन की विधि है।
5. पुनर्वर्गीकरण द्वारा गुणनखंडन में, हमें यह याद रखना चाहिए कि दिए गए व्यंजक में पदों के किसी भी पुनर्वर्गीकरण (अर्थात पुनर्व्यवस्था) से गुणनखंडन नहीं हो सकता है। हमें अभिव्यक्ति का निरीक्षण करना चाहिए और परीक्षण और त्रुटि द्वारा वांछित पुनर्समूहन के साथ आना चाहिए।
6. गुणनखंडित किए जाने वाले कई व्यंजक इस रूप में हैं या इन्हें इस रूप में रखा जा सकता है: a2 + 2 ab + b2 , a2 - 2ab
+ b2, a2 - b2 और x2 + (a + b) + ab। इन व्यंजकों को अध्याय 9 में दी गई सर्वसमिकाओं I, II, III और IV का उपयोग करके आसानी से गुणनखंडित किया जा सकता है। a
² + 2 ab + b ² = (a + b) ², a ² – 2ab + b ² = (a – b) ² a
² – b ² = (a + b) (a – b) x2
+ (a + b) x + ab = (x + a) (x + b)
7. उन व्यंजकों में जिनके गुणनखंड (x + a) (x + b)
हैं, याद रखें कि संख्यात्मक पद ab देता है। इसके गुणनखंड, a और b, को इस प्रकार चुना जाना चाहिए कि उनका योग, चिह्नों का ध्यान रखते हुए, x का गुणांक हो।
8. हम जानते हैं कि संख्याओं के मामले में, भाग गुणन का विलोम होता है। यह विचार बीजीय व्यंजकों के विभाजन पर भी लागू होता है।
9. बहुपद को एकपदी से भाग देने की स्थिति में, हम बहुपद के प्रत्येक पद को एकपदी से भाग देकर या सार्व गुणनखंड विधि से भाग कर सकते हैं।
10. एक बहुपद को एक बहुपद से भाग देने की स्थिति में, हम भाज्य बहुपद के प्रत्येक पद को भाजक बहुपद से भाग देकर आगे नहीं बढ़ सकते। इसके बजाय, हम दोनों बहुपदों का गुणनखंड करते हैं और उनके उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करते हैं।
11. इस अध्याय में हमने जिन बीजीय व्यंजकों का अध्ययन किया है, उनके विभाजन के मामले में, हमारे पास लाभांश = भाजक × भागफल है। सामान्य तौर पर, हालांकि, संबंध लाभांश = भाजक × भागफल + शेष है इस प्रकार, हमने वर्तमान अध्याय में केवल उन विभाजनों पर विचार किया है जिनमें शेषफल शून्य है।
12. बीजगणित के अभ्यासों को हल करते समय छात्र आमतौर पर कई गलतियाँ करते हैं। आपको ऐसी गलतियां करने से बचना चाहिए। |
EXERCISE 14.1
Method of common factors उभयनिष्ठ गुणांखंडों की विधि
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1.
Find the common factors of the given terms. दिए गए पदों के उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात कीजिए। (i)
12x, 36 (ii)
2y, 22xy (iii)
14 pq, 28p ²q ² (iv)
2x, 3x 2 , 4 (v)
6 abc, 24ab² , 12 a ²b (vi)
16 x 3 , – 4x ² , 32x (vii)
10 pq, 20qr, 30rp (viii)
3x ² y3 , 10x 3 y² ,6 x ² y² z
2.
Factorise the following expressions. निम्नलिखित व्यंजकों का गुणनखंड कीजिए (i)
7x – 42 (ii)
6p – 12q (iii)
7a ² + 14a (iv)
– 16 z + 20 z 3 (v)
20 l² m + 30 a l m (vi)
5 x² y – 15 xy² (vii)
10 a ² – 15 b² + 20 c² (viii)
– 4 a² + 4 ab – 4 ca (ix)
x ² y z + x y² z + x y z² (x)
a x² y + b x y² + c x y z
3.
Factorise. गुणनखंड कीजिए (i)
x ² + x y + 8x + 8y (ii)
15 xy – 6x + 5y – 2 (iii)
ax + bx – ay – by (iv)
15 pq + 15 + 9q + 25p (v)
z – 7 + 7 x y – x y z |
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EXERCISE 14.2
Factorisation using identities सर्वसमिकाओं के प्रयोग द्वारा गुणनखंडन
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1.
Factorise the following expressions. निम्नलिखित व्यंजकों का गुणनखंड कीजिए। (i)
a ² + 8a + 16 (ii)
p ² – 10 p + 25 (iii)
25m² + 30m + 9 (iv)
49y ² + 84yz + 36z ² (v)
4x ² – 8x + 4 (vi)
121b ² – 88bc + 16c ² (vii)
(l + m) ² – 4lm (Hint: Expand ( l + m) ² first) (viii)
a 4 + 2a2b² + b 4
2.
Factorise. गुणनखंड कीजिए। (i)
4p ² – 9q ² (ii)
63a ² – 112b ² (iii)
49x ² – 36 (iv)
16x 5 – 144x 3 (v)
(l + m) ² – (l – m) ² (vi)
9x ² y ² – 16 (vii)
(x ² – 2xy + y ² ) – z² (viii)
25a ² – 4b ² + 28bc – 49c ²
3.
Factorise the expressions. व्यंजकों का गुणनखंड कीजिए (i)
ax² + bx (ii)
7p ² + 21q ² (iii)
2x 3 + 2xy² + 2xz² (iv)
am² + bm² + bn² + an² (v)
(lm + l) + m + 1 (vi)
y (y + z) + 9 (y + z) (vii)
5y ² – 20y – 8z + 2yz (viii)
10ab + 4a + 5b + 2 (ix)
6xy – 4y + 6 – 9x
4.
Factorise. गुणनखंड कीजिए (i)
a 4 – b 4 (ii)
p 4 – 81 (iii)
x 4 – (y + z) 4 (iv)
x 4 – (x – z) 4 (v)
a 4 – 2a2b² + b 4
5.
Factorise the following expressions. निम्नलिखित व्यंजकों का गुणनखंड कीजिए। (i)
p ² + 6p + 8 (ii)
q ² – 10q + 21 (iii)
p ² + 6p – 16 |
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EXERCISE 14.3
Division of Algebraic Expressions बीजीय व्यंजकों का विभाजन
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1.
Carry out the following divisions. निम्नलिखित विभाजन कीजीए (i)
28x 4 ÷ 56x (ii)
–36y 3 ÷ 9y ² (iii)
66pq² r 3 ÷ 11qr² (iv)
34x 3y 3 z 3 ÷ 51xy² z 3 (v)
12a8b8 ÷ (– 6a6b4 )
2.
Divide the given polynomial by the given monomial. दिए गए बहुपद को दिए गए एकपदी से भाग दें। (i)
(5x ² – 6x) ÷ 3x (ii)
(3y8 – 4y6 + 5y4 ) ÷ y4 (iii)
8(x3y² z² + x²y3z² + x²y²z3 ) ÷ 4x ²y ² z ² (iv)
(x3 + 2x ² +3x) ÷ 2x (v)
(p3q6 – p6q3 ) ÷ p3q3
3.
Work out the following divisions. निम्नलिखित विभाजन कीजीए (i)
(10x – 25) ÷ 5 (ii)
(10x – 25) ÷ (2x – 5) (iii)
10y(6y + 21) ÷ 5(2y + 7) (iv)
9x² y² (3z – 24) ÷ 27xy(z – 8) (v)
96abc(3a – 12) (5b – 30) ÷ 144(a – 4) (b – 6)
4.
Divide as directed. निर्देशानुसार भाग दीजीए (i)
5(2x + 1) (3x + 5) ÷ (2x + 1) (ii)
26xy(x + 5)(y – 4) ÷ 13x(y – 4) (iii)
52pqr (p + q) (q + r) (r + p) ÷ 104pq(q + r) (r + p) (iv)
20(y + 4) (y² + 5y + 3) ÷ 5(y + 4) (v)
x(x + 1) (x + 2) (x + 3) ÷ x(x + 1)
5.
Factorise the expressions and divide them as directed. व्यंजक के गुणनखंड कीजीए और निर्देशानुसार भाग दीजीए (i)
(y² + 7y + 10) ÷ (y + 5) (ii)
(m² – 14m – 32) ÷ (m + 2) (iii)
(5p² – 25p + 20) ÷ (p – 1) (iv)
4yz(z² + 6z – 16) ÷ 2y(z + 8) (v)
5pq(p² – q² ) ÷ 2p(p + q) (vi)
12xy(9x² – 16y² ) ÷ 4xy(3x + 4y) (vii)
39y3 (50y² – 98) ÷ 26y² (5y + 7) |
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EXERCISE 14.4
Can you Find the Error?
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Find
and correct the errors in the following mathematical statements. निम्नलिखित गणितीय कथनों में त्रुटियों को खोजें और ठीक करें। 1.
4(x – 5) = 4x – 5 2.
x(3x + 2) = 3x 2 + 2 3.
2x + 3y = 5xy 4.
x + 2x + 3x = 5x 5.
5y + 2y + y – 7y = 0 6.
3x + 2x = 5x 2 7.
(2x) 2 + 4(2x) + 7 = 2x 2 + 8x + 7 8.
(2x) 2 + 5x = 4x + 5x = 9x 9.
(3x + 2)2 = 3x 2 + 6x + 4 10.
Substituting x = – 3 in (a)
x 2 + 5x + 4 gives (– 3)2 + 5 (– 3) + 4 = 9 + 2 + 4 =
15 (b)
x 2 – 5x + 4 gives (– 3)2 – 5 ( – 3) + 4 = 9 – 15 + 4 =
– 2 (c)
x 2 + 5x gives (– 3)2 + 5 (–3) = – 9 – 15 = – 24
11.
(y – 3)2 = y 2 – 9 12.
(z + 5)2 = z 2 + 25 13.
(2a + 3b) (a – b) = 2a 2 – 3b 2 14.
(a + 4) (a + 2) = a 2 + 8 15.
(a – 4) (a – 2) = a 2 – 8 16.
(3x²/ 3x²) = 0 17.
(3x²+1)/( 3x²) = 1+1-2 18.
[3x/(3x+2)] =1/2 19.
[3/(4x+3)]=1/4x 20.
[(4x+5)/4x] = 5 21.
[{7x+5)/4x] = 7x |
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